Diferencia de funciones crecientes

Demostramos que una función es de variación acotada sii se puede expresar como diferencia de dos funciones crecientes.

Enunciado
1. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de variación acotada. Definimos la función $$V:[a,b]\to \mathbb{R},\quad V(x)=\begin{cases} V_f(a,x) & \text{si}& 0 < x \le b\\0 & \text{si}& x=a\end{cases}$$ Demostrar que
(a) $V$ es creciente en $[a,b].$
(b) $V-f$ es creciente en $[a,b].$
2. Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función. Demostrar que: $f$ es de variación acotada en $[a,b]$ $\Leftrightarrow$ $f$ se puede expresar como diferencia de dos funciones crecientes.

Solución
1. (a) Para $a < x_1 < x_2 \le b,$ y usando conocidas propiedades de las funciones de variación acotada, $$V_f(a,x_2)=V_f(a,x_1)+V_f(x_1,x_2)\Rightarrow V(x_2)-V(x_1)=V_f(x_1,x_2)\ge 0,$$ lo cual implica que $V$ es creciente en $[a,b].$
(b) Llamemos $H(x)=V(x)-f(x).$ entonces, $$a\le x_1 < x_2 \le b\Rightarrow H(x_2)-H(x_1)=V(x_2)-V(x_1)-[f(x_2)-f(x_1)]$$ $$= V_f(x_1,x_2)-[f(x_2)-f(x_1)]\underbrace{\ge}_{f(x_2)-f(x_1)\le V_f(x_1,x_2)} 0,$$ por tanto $V-f$ es creciente

2. $\Rightarrow)$ Si $f$ es de variación acotada en $[a,b]$ podemos expresar $f=V-(V-f),$ y por el apartado anterior $V$ y $V-f$ son crecientes.
$\Leftarrow)$ Sea $f=f_1-f_2$ en $[a,b]$ con $f_1$ y $f_2$ crecientes. Sabemos que toda función monótona es de variación acotada y que la diferencia de funciones de variación acotada también lo es, de lo cual se deduce $f$ que es de variación acotada en $[a,b].$

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