Funciones holomorfas en un disco

Damos una aplicación de un teorema de identidad de funciones holomorfas en un dominio.

Enunciado
Determinar todas las funciones holomorfas en el disco $$D(1,1)=\left\{z\in\mathbb{C}:\left|z-1\right|<1\right\}$$ y que satisfacen en tal disco la condición $$f\left(\frac{n}{n+1}\right)=1-\frac{1}{2n^2+2n+1}\;\;\forall n\in\mathbb{N}.\qquad (1)$$ Solución
Denotando $z_n=n/(n+1),$ $$\left|z_n-1\right|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\left|\frac{-1}{n+1}\right|<1\Rightarrow z_n\in D(1,1).$$ Despejando $n,$ tenemos $n=z_n/(1-z_n).$ Entonces, $$f(z_n)=1-\frac{1}{2\left(\dfrac{z_n}{1-z_n}\right)^2+2\left(\dfrac{z_n}{1-z_n}\right)+1}$$ $$=1-\frac{(1-z_n)^2}{2z_n^2+2z_n(1-z_n)+(1-z_n)^2}=1-\frac{(1-z_n)^2}{1+z_n^2}=\frac{2z_n}{1+z_n^2}.$$ La función $f(z)=2z/(1+z^2)$ no es holomorfa exactamente en $z=\pm i\notin D(1,1),$ luego es holomorfa en $D(1,1)$ y satisface trivialmente la condición $(1).$ Veamos que es la única, para ello recordemos el siguiente teorema:

Teorema. Sean $f$ y $g$ holomorfas en un dominio $D$ tales que $f(z_n)=g(z_n)$ sobre una sucesión de puntos distintos de $D$ tales que existe $l=\lim z_n\in D.$ Entonces, $f=g.$

La sucesión de puntos distintos $z_n=n/(n+1)$ de $D(1,1)$ satisfacen $\lim z_n=1\in D(1,1),$ lo cual implica por el teorema anterior, que la única función que satisface las hipótesis del problema es $f(z)=2z/(1+z^2).$

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