Ecuación diferencial de la ley de absorción de Lambert

Enunciado
La ley de absorción de Lambert asegura que la tasa de absorción de luz relativa a una profundidad $x$ de un material translúcido es proporcional a la intensidad $I$ en tal profuncidad $x.$ Es decir, $$\frac{dI}{dx}=-kI\quad \text{(Ley de absorción de Lambert}).$$ Supongamos que la intensidad $I$ a una profundidad de $30$ pies es $4/9$ de la intensidad en la superficie. Encontrar la intensidad a $60$ pies y a $120$ pies.

Solución
Resolvamos la ecuación diferencial correspondiente: $$\frac{dI}{dx}=-kI,\quad\frac{dI}{I}=-kdx,\quad \log \left|I\right|=-kx+K,\quad I=e^Ke^{-kx}.$$ La solución general es por tanto $I=Ce^{-kx}.$ Para $x=0$ obtenemos la intensidad en la superficie $$I_0=I(0)=C.$$ Por otra parte, $$I(30)=\frac{4}{9}I_0\Leftrightarrow I_0e^{-30k}=\frac{4}{9}I_0\Leftrightarrow e^{-30k}=\frac{4}{9}$$ $$\Leftrightarrow -30k=\log \frac{4}{9}\Leftrightarrow k=\frac{\log (9/4)}{30}.$$ Entonces, $$I(60)=I_0e^{-2\log (9/4)}=I_0e^{-\log (9/4)^2}=\frac{16I_0}{81},$$ $$I(120)=I_0e^{-4\log (9/4)}=I_0e^{-\log (9/4)^4}=\frac{4^4I_0}{9^4}.$$

Esta entrada fue publicada en Uncategorized. Guarda el enlace permanente.