Derivada de un determinante

Demostramos una fórmula para la derivada de un determinante y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
Sea $I$ un intervalo de la recta real. Se considera la matriz de orden $n:$ $$A(t)=\left[F_1(t),F_2(t),\ldots, F_n(t)\right]$$ en donde $$F_i(t)=\begin{pmatrix}f_{1j}(t)\\{f_{2j}(t)}\\ \vdots\\{f_{nj}(t)}\end{pmatrix}\;\;\forall t\in I\text{ con las }f_{ij}\text{ derivables en }I.$$ 1. Demostrar que para todo $t\in (a,b)$ se verifica $$\dfrac{d}{dt}\det A(t)=\det\left[F_1^{\prime}(t),F_2(t),\ldots,F_n(t)\right]+\det\left[F_1(t),F_2^{\prime}(t),\ldots,F_n(t)\right]$$ $$+…+\det\left[F_1(t),F_2(t),\ldots,F_n^{\prime}(t)\right].$$ 2. Escribir explícitamente la fórmula anterior de la derivada de un determinante para $A(t)=\left[f_{ij}(t)\right].$
3. Calcular la derivada de la función determinante $$A:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad A(t)=\begin{vmatrix}{\sin t}&{\sqrt{t}}\\{\log t}&{1/t}\end{vmatrix}.$$

Solución
1. Por definición, $$\frac{d}{dt}\det A(t) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\det A(t+h) – \det A(t)}{h}$$ $$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\det \left[F_1(t+h), \dots, F_n(t+h)\right] – \det\left[F_1(t), \dots , F_n(t)\right]}{h} .
$$ Sumando y restando $\det\left[F_1(t), F_2(t+h), \dots , F_n(t+h)\right],$
$$\frac{d}{dt}\det A(t)$$ $$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\det \left[F_1(t+h), F_2(t+h),\dots, F_n(t+h)\right] – \det\left[F_1(t), F_2(t+h), \dots , F_n(t+h)\right]}{h}$$ $$+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{
\det\left[F_1(t), F_2(t+h), \dots , F_n(t+h)\right]-\det\left[F_1(t), \dots , F_n(t)\right]}{h}.$$ $$\frac{d}{dt}\det A(t)$$ $$= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\det \left[F_1(t+h), F_2(t+h),\dots, F_n(t+h)\right] – \det\left[F_1(t), F_2(t+h), \dots , F_n(t+h)\right]}{h}$$ $$+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{
\det\left[F_1(t), F_2(t+h), \dots , F_n(t+h)\right]-\det\left[F_1(t), \dots , F_n(t)\right]}{h}.$$ El primer sumando es $$\det \left( \lim_{h\rightarrow 0} \frac{F_1(t+h) – F_1(t)}{h}, \;\lim_{h\rightarrow 0} F_2(t+h), \dots,\;\lim_{h\rightarrow 0} F_n(t+h) \right)$$ $$=\det \left[F_1^\prime(t), F_2(t), \dots , F_n(t)\right].$$ Ahora, sumamos y restamos al segundo sumando $$\det\left[F_1(t),\: F_2(t),\: F_3(t+h), \dots ,\: F_n(t+h)\right],$$ obteniendo el sumando $$
\det \left[F_1(t),\; F'_2(t),\; F_3(t),\; \dots ,\; F_n(t)\right].$$ Podemos reiterar el proceso hasta obtener $$\det \left[F_1(t), F_2(t), \dots , F_{n-1}(t), F_n^\prime (t)\right].$$ 2. Tenemos $$\det A(t)=\begin{vmatrix} f_{11}(t) & f_{12}(t) & \ldots & f_{1n}(t)\\ f_{21}(t) &f_{22}(t) & \ldots & f_{2n}(t) \\ \vdots&&&\vdots \\ f_{n1}(t) & f_{n2}(t) &\ldots & f_{nn}(t)\end{vmatrix},$$ por tanto la fórmula del apartado anterior se puede escribir en la forma $$\dfrac{d}{dt}\det A(t)=\begin{vmatrix} f_{11}^\prime(t) & f_{12}(t) & \ldots & f_{1n}(t)\\ f_{21}^\prime(t) &f_{22}(t) & \ldots & f_{2n}(t) \\ \vdots&&&\vdots \\ f_{n1}^\prime(t) & f_{n2}(t) &\ldots & f_{nn}(t)\end{vmatrix}$$ $$+\begin{vmatrix} f_{11}(t) & f_{12}^\prime(t) & \ldots & f_{1n}(t)\\ f_{21}(t) &f_{22}^\prime(t) & \ldots & f_{2n}(t) \\ \vdots&&&\vdots \\ f_{n1}(t) & f_{n2}^\prime(t) &\ldots & f_{nn}(t)\end{vmatrix}+\ldots +\begin{vmatrix} f_{11}(t) & f_{12}(t) & \ldots & f_{1n}^\prime(t)\\ f_{21}(t) &f_{22}(t) & \ldots & f_{2n}^\prime(t) \\ \vdots&&&\vdots \\ f_{n1}(t) & f_{n2}(t) &\ldots & f_{nn}^\prime(t)\end{vmatrix}.$$ 3. Usando la fórmula del apartado anterior, $$\dfrac{d}{dt}\det A(t)=\begin{vmatrix}{\cos t}&{\sqrt{t}}\\{1/t}&{1/t}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}{\sin t}&{1/(2\sqrt{t})}\\{\log t}&{-1/t^2}\end{vmatrix}$$ $$=\frac{1}{t}(\cos t-\sqrt{t})-\frac{\sin t}{t^2}-\frac{\log t}{2\sqrt{t}}.$$

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