Cardinales infinitos no regulares

Demostramos que existen cardinales infinitos no regulares par la suma y el producto. Es decir, para cardinales $x,y,z$ no es cierto que $xz=yz\Rightarrow x=y$ (incluso si $z\ne 0$) ni que $x+z=y+z\Rightarrow x=y.$

Enunciado
1. Se consideran los conjuntos $X=\{a\},$ $Y=\{b,c\},$ $\mathbb{N}$ y los cardinales $$x=\left|X\right|,\;y=\left|Y\right|,\;z=\left|\mathbb{N}\right|.$$ Demostrar que la aplicación $f:X\times \mathbb{N}\to Y\times \mathbb{N}$ $$f(a,n)= \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & (b,p)\quad\text{si}\quad n=2p\text{ es par}\\ & (c,p)\quad\text{si}\quad n=2p+1\text{ es impar} \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ es biyectiva. Concluir que $z$ no es elemento regular para el producto.
2. Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{N}\times \{0,1\}\to \mathbb{N},\quad f(n,u)= \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 2n\;\;\qquad\text{si}\quad u=0\\ & 2n+1\quad\text{si}\quad u=1\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ es biyectiva. Concluir que existen cardinales infinitos no regulares para la suma.

Solución
1. Inyectiva. Si $n_1$ y $n_2$ son naturales de distinta paridad, claramente no puede ocurrir $f(a,n_1)=f(a,n_2)$ pues $b\ne c.$ Si $n_1=2p_1$ y $n_2=2p_2$ son pares, $$f(a,n_1)=f(a,n_2)\Rightarrow (b,p_1)=(b,p_2)\Rightarrow p_1=p_2$$ $$\Rightarrow n_1=n_2\Rightarrow (a,n_1)=(a,n_2).$$ Análogo razonamiento si $n_1$ y $n_2$ son impares.
Sobreyectiva. Todo elemento de $Y\times \mathbb{N}$ es de la forma $(b,n)$ o $(c,n)$ con $n$ natural. Pero $$(b,n)=f(a,2n),\quad (c,n)=f(a,2n+1),$$ luego $f$ es sobreyectiva. Tenemos pues que $$xz=\left|X\times \mathbb{N}\right|=\left|Y\times \mathbb{N}\right|=yz$$ y sin embargo $x\ne y,$ lo cual prueba que $z$ es cardinal infinito y no regular para el producto.

2. Inyectiva. Sean $(n_1,u_1)$ y $(n_2,u_2)$ elementos de $\mathbb{N}\times \{0,1\}.$ Si $u_1\ne u_2,$ claramente $f(n_1,u_1)\ne f(n_2,u_2).$ Si $u_1=u_2=0,$ $$f(n_1,u_1)= f(n_2,u_2)\Rightarrow 2n_1=2n_2\Rightarrow n_1=n_2\Rightarrow (n_1,u_1)=(n_2,u_2).$$ Análogo razonamiento si $u_1=u_2=1.$
Sobreyectiva. Si $m\in\mathbb{N},$ o bien $m=2n,$ o bien $m=2n+1$ para algún $n.$ Pero $$m=2n=f(n,0),\quad m=2n+1=f(n,1)$$ luego $f$ es sobreyectiva.

Llamemos $x=\left|\mathbb{N}\right|.$ Dado que $$x=\left|\mathbb{N}\times \{0\}\right|=\left|\mathbb{N}\times \{1\}\right|,\quad\left(\mathbb{N}\times \{0\}\right)\cap\left(\mathbb{N}\times \{1\}\right)=\emptyset,$$ podemos escribir $$x+x=\left|\left(\mathbb{N}\times \{0\}\right)\cup\left(\mathbb{N}\times \{1\}\right)\right|=\left|\mathbb{N}\times \{0,1\}\right|\underbrace{=}_{f\text{ biyectiva}}x.$$ Es decir, tenemos $x+x=x+0$ y $x\ne 0$ lo cual implica que $x$ es cardinal infinito y no regular para la suma.

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