Grupo de Galois de una extensión

Enunciado
Sea $L/K$ una extensión de cuerpos con $L$ subcuerpo de $\mathbb{C}.$ Se llama $K$-automorfismo de $L$ a todo automorfismo $f:L\to L$ tal que $f(x)=x$ para todo $x\in K.$

(a) Sea $L/K$ una extensión de cuerpos con $L$ subcuerpo de $\mathbb{C}.$ Demostrar que el conjunto $$\Gamma (L/K):=\{f:f\text{ es }K\text{-automorfismo de }L\}$$ es un grupo con respecto de la operación composición. A $\Gamma (L/K)$ se le llama grupo de Galois de la extensión $L/K.$
(b) Demostrar que $\Gamma (\mathbb{C}/\mathbb{R})$ es un grupo cíclico de orden $2.$
(c) Sea $\xi$ la raíz cúbica real de $2.$ Demostrar que el grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q}$ es el grupo trivial.

Solución
(a) Interna. Para todo $f,g\in \Gamma (L/K),$ se verifica que $f\circ g$ es un automorfismo de $L$ (composición de automorfismos). Además, para todo $x\in K$ se verifica $$(f\circ g)(x)=f[g(x)]=f(x)=x,$$ luego $f\circ g\in \Gamma (L/K).$
Asociativa. Es propiedad general de la composición de aplicaciones.
Elemento neutro. La aplicación identidad $i:L\to L$ es automorfismo e $i(x)=x$ para todo $x\in K,$ en consecuencia $i\in \Gamma (L/K).$
Elemento inverso. Si $f\in \Gamma (L/K),$ $f$ es automorfismo de $L,$ luego $f^{-1}$ también lo es. Ademas, para todo $x\in K$ $$x=f^{-1}f(x)=f^{-1}(x),$$ luego $f^{-1}\in\Gamma (L/K).$

(b) Sea $f\in \Gamma (\mathbb{C}/\mathbb{R}),$ y llamemos $j=f(i).$ Entonces, $$j^2=f(i)^2=f(i^2)=f(-1)\underbrace{=}_{-1\in\mathbb{R}}-1.$$ Necesariamente ha de ser $j=i$ o $j=-i.$ Para todo $x,y\in\mathbb{R}$ tenemos $$f(x+iy)=f(x)+f(i)f(y)=x+jy.$$ En consecuencia, los únicos posibles $\mathbb{R}$-automorfismos de $\mathbb{C}$ son $$f_1(x+iy)=x+iy,\quad f_2(x+iy)=x-iy.$$ Dado que $f_1$ es la identidad, claramente $f_1\in\Gamma (\mathbb{C}/\mathbb{R}).$ Por otra parte, $f_2$ es la operación conjugación, que es un automorfismo sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ y $f_2(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Es decir, $f_2\in \Gamma (\mathbb{C}/\mathbb{R}).$ Concluimos que $$\Gamma (\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{f_1,f_2\}\text{ con }f_1 \text{ la identidad, y }f_2\text{ la conjugación.}$$ Dado que $f_2^2=f_2\circ f_2=f_1,$ concluimos que el grupo de Galois de $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ es de orden $2$ y cíclico.

(c) Si $f\in \mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q}$ se verifica $$f(\xi)^3=f(\xi^3)=f(2)=2.$$ Como $\mathbb{Q}(\xi)\subset \mathbb{R},$ ha de ser $f(\xi)=\xi.$ Por otra parte, sabemos que $$\mathbb{Q}(\xi)=\{a+b\xi+c\xi^2:a,b,c\in\mathbb{Q}\},$$ entonces $$f(a+b\xi+c\xi^2)=f(a)+f(b)f(\xi)+f(c)f(\xi^2)=a+b\xi+c\xi^2,$$ es decir $f$ es la identidad y por tanto $\mathbb{Q}(\xi)/\mathbb{Q}$ es el grupo trivial.

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