Grupo de Klein y sus automorfismos

Definimos el grupo de Klein y determinamos todos sus automorfismos.

Se considera el grupo $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right).$
(a) Demostrar que el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento.
(b) Demostrar que $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right)$ no es cíclico.
(c) Denotemos $K=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,$ $e=(0,0),$ $a=(1,0),$ $b=(0,1),$ $c=(1,1).$ Escribir la tabla de $K$ con notación multiplicativa. Al grupo $(K,\cdot )$ se le llama grupo de Klein.
Nota. Por supuesto que no hay diferencia entre $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right)$ y $(K,\cdot)$ salvo la notación.
(d) Determinar todos los automorfismos del grupo de Klein.

Solución
(a) Tenemos $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ y se cumple $$(0,0)+(0,0)=(0,0),\quad (1,0)+(1,0)=(0,0),$$ $$(0,1)+(0,1)=(0,0),\quad (1,1)+(1,1)=(1,1),$$ lo cual implica que $$-(0,0)=(0,0),\;-(1,0)=(1,0),\;-(0,1)=(0,1),\;-(1,1)=(1,1),$$ es decir el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento.

(b) El elemento neutro es de orden $1$ y se cumple $$(1,0)+(1,0)=(0,0),\;(0,1)+(0,1)=(0,0),\;(1,1)+(1,1)=(0,0)$$ es decir, los restantes elementos son de orden $2,$ por tanto $\left(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2,+\right)$ no es cíclico.

(c) La tabla de Cayley de $(K,+)$ es $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{\cdot}&e&a&b&c\\\hline
{}e&e&a&b&c\\
{}a&a&e&c&b\\
{}b&b&c&e&a\\
{}c&c&b&a&e
\end{array}$$ (d) Si $f:K\to K$ es automorfismo necesariamente $f(e)=e$ y al ser $$\{a,b,c\}=\{f(a),f(a),f(c)\}$$ tenemos $6$ posibles elecciones: las permutaciones de $\mathcal{S}_3.$ Por ejemplo, para la permutación $$\begin{pmatrix}{a}&{b}& c\\{a}&{c}&b\end{pmatrix}$$ obtenemos el posible automorfismo $$f(e)=e,\quad f(a)=a,\quad f(b)=c,\quad f(c)=b,$$ es fácil verificar $f(xy)=f(x)f(y)$ para todo $x,y\in K$ y lo mismo para cada permutación de $\mathcal{S}_3.$ En consecuencia, el grupo de los automorfismos del grupo de Klein $\text{Aut}(K)$, es isomorfo al grupo simétrico $\mathcal{S}_3.$

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