Singularidad y residuo en el origen de $f(z)=\dfrac{1}{2+z^2-2\cosh z}$

Enunciado
Usando desarrollo en serie de Laurent, clasificar la singularidad en el origen de la función $$f(z)=\dfrac{1}{2+z^2-2\cosh z}$$ y hallar su residuo en tal punto.

Solución
Claramente el denominador se anula en $z=0,$ por tanto presenta una singularidad en dicho punto. El desarrollo en serie de la función coseno hiperbólico es $$\cosh z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots,$$ y por tanto, para $z\ne 0,$ $$f(z)=\frac{1}{2+z^2-2\displaystyle\left(1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots\right)}=\frac{1}{-\dfrac{2z^4}{4!}-\dfrac{2z^6}{6!}-\dfrac{2z^8}{8!}-\cdots}.$$ Efectuando la división según potencias crecientes obtenemos para $z\ne 0$ un desarrollo de Laurent del tipo $$f(z)=\frac{A_{-4}}{z^4}+\frac{A_{-2}}{z^2}+A_0+A_2z^2+\cdots\quad (A_{-4}\ne 0).$$ En consecuencia, la singularidad de $f$ en el origen es un polo cuádruple y su residuo es $$\text{Res }[f,z=0]=\text{coef }\frac{1}{z}=0.$$

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