Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}$

Enunciado
Se considera la función $$f(z)=\dfrac{e^{1/z}}{z-1}.$$ Determinar sus singularidades, clasificarlas y hallar sus residuos.

Solución
La función no es analítica en $z=0$ y en $z=1,$ y estas son por tanto sus singularidades.
Caso $z=1.$ Tenemos $\lim_{z\to 1}f(z)=e/0=\infty,$ es decir $z=1$ es un polo, y $$\lim_{z\to 1}f(z)(z-1)=\lim_{z\to 1}e^{1/z}=e\ne 0,$$ con lo cual es polo simple y además $$\text{Res }[f,z=1]=\lim_{z\to 1}f(z)(z-1)=e.$$ Caso $z=0.$ Consideremos $x$ real. Tenemos $$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{e^{1/x}}{x-1}=0,\quad \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{1/x}}{x-1}=-\infty.$$ Es decir, no existe $\lim_{z\to 0}f(z),$ luego $z=0$ es singularidad esencial. Para hallar el residuo de $f$ en $z=0,$ desarrollamos $f$ en serie de Laurent en un entorno de $0.$ Tenemos para $0 < \left|z\right| < 1$ $$f(z)=e^{1/z}\cdot\frac{1}{z-1}=\left(1+\frac{1}{1!z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots\right)\left(-1-z-z^2-z^3-\cdots\right)$$ $$=\cdots+\left(-\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}-\cdots\right)\frac{1}{z}+\cdots=\cdots+\left(1-e\right)\frac{1}{z}+\cdots,$$ Entonces $$\text{Res }[f,z=0]=\text{coef }\frac{1}{z}=1-e.$$

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