Singularidades y residuos de $f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}$

Enunciado
Se considera la función $$f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3+z^2-z-1}.$$ Determinar sus singularidades, clasificarlas y hallar sus residuos.

Solución
La función no es analítica para $z^3+z^2-z-1=0.$ Descomponiendo obtenemos $(z+1)^2(z-1)=0,$ con lo cual sus singularidades son $z=1$ y $z=-1.$ Entonces, $$\lim_{z\to 1}f(z)=\frac{\sin 1}{0}=\infty,\quad \lim_{z\to -1}f(z)=\frac{\sin (-1)}{0}=\infty,$$ por tanto son polos. Hallemos sus órdenes, $$\lim_{z\to 1}f(z)(z-1)=\lim_{z\to 1}\frac{(z-1)\sin z}{(z+1)^2(z-1)}=\lim_{z\to 1}\frac{\sin z}{(z+1)^2}=\frac{\sin 1}{4}\ne 0,$$ $$\lim_{z\to -1}f(z)(z+1)^2=\lim_{z\to -1}\frac{(z+1)^2\sin z}{(z+1)^2(z-1)}=\lim_{z\to -1}\frac{\sin z}{z-1}=\frac{\sin (-1)}{-2}=\frac{\sin 1}{2}\ne 0,$$ por tanto $z=1$ es polo simple y $z=-1$ es polo doble. Hallemos sus residuos: $$\text{Res }[f,z=1]=\lim_{z\to 1}f(z)(z-1)=\frac{\sin 1}{4}.$$ $$\text{Res }[f,z=-1]=\frac{1}{1!}\lim_{z\to -1}\left(f(z)(z+1)^2\right)^{\prime}=\lim_{z\to -1}\left(\frac{\sin z}{z-1}\right)^{\prime}$$ $$=\lim_{z\to -1}\frac{(z-1)\cos z-\sin z}{(z-1)^2}=\frac{-2\cos (-1)-\sin (-1)}{4}=\frac{\sin 1-2\cos 1}{4}.$$

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