Suma de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}$

Enunciado
Dada la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}.$
(a) Demostrar que es convergente.
(b) Hallar su suma.

Solución
(a) La serie es de términos positivos. Aplicando el criterio de D’Alembert $$L=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{n+1}{2^{n+1}(n+2)}:\frac{2^n(n+1)}{n}\right)=\frac{1}{2}\lim_{n\to +\infty}\frac{n}{n+2}=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}<1,$$ por tanto la serie es convergente.

(b) Consideremos la función $$f:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n.$$ Se comprueba inmediatamente por el criterio de D’Alembert que la serie funcional anterior es absolutamente convergente para $\left|x\right| < 1 ,$ y por tanto $f$ está bien definida. La suma de la serie pedida será por tanto $$S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}=f\left(\frac{1}{2}\right).$$ Podemos escribir para $x\in (-1,1)$ y no nulo: $$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n}{n+1}}x^n=\sum_{n=1}^\infty\left(1-\frac{1}{n+1}\right)x^n=\sum_{n=1}^\infty x^n-\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$$ $$=\frac{1}{1-x}-1-\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=\frac{x}{1-x}-\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}.$$ Llamemos $$g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}.$$ Aplicando el criterio de D’Alembert verificamos inmediatamente que $g$ está definida en $(-1,1)$ y al venir dada por una serie de potencias se puede derivar término a término: $$g’(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}-1.$$ Integrando, $g(x)=-\log\left|1-x\right|-x+C.$ Para $x=0$ obtenemos $0=g(0)=\log 1-0+C,$ con lo cual, $C=0.$ Queda para $x\in (-1,1)$ y no nulo $$f(x)=\frac{x}{1-x}-\frac{1}{x}(-\log\left|1-x\right|-x).$$ Entonces, $$S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}=f\left(\frac{1}{2}\right)=1-2\left(-\log \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=2(1-\log 2).$$

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