Cuerpo $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$

Enunciado
Denominemos por $\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)$ al menor subcuerpo de $\mathbb{C}$ que contiene a $\mathbb{Q}\cup \{\sqrt{5},i\}.$ Demostrar que $$\mathbb{Q}(\sqrt{5},i)=\{p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i:\;p,q,r,s\in\mathbb{Q}\}.$$
Solución
Denominemos por $K$ al cuerpo pedido. Necesariamente $K$ ha de contener a $1,$ $\sqrt{5},$ $i,$ $\sqrt{5}i.$ Como también ha de contener a los racionales, necesariamente, $$K\supset K’=\{\alpha\in \mathbb{C}:\alpha=p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i\text{ con }p,q,r,s\in\mathbb{Q}\}.$$ Si demostramos que $K’$ es cuerpo estará demostrado que $K’=\mathbb{Q}(\sqrt{5},i).$ Efectivamente,

1. Veamos que $K’$ es subanillo de $\mathbb{C}.$
(a) $\alpha=0+0i+0\sqrt{5}+0\sqrt{5}i\in K’,$ por tanto $K’\ne \emptyset.$
(b) Para todo $\alpha=p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i$ y $\alpha’=p’+q’i+r’\sqrt{5}+s’\sqrt{5}i$ tenemos $$\alpha-\alpha’=(p-p’)+(q-q’)i+(r-r’)\sqrt{5}+(s-s’)\sqrt{5}i$$ con $p-p’,q-q’,r-r’,s-s’$ racionales, por tanto $\alpha-\alpha’\in K’.$
(c) Para todo $\alpha=p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i$ y $\alpha’=p’+q’i+r’\sqrt{5}+s’\sqrt{5}i$ tenemos $$\alpha\alpha’=(p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i)(p’+q’i+r’\sqrt{5}+s’\sqrt{5}i)$$ $$=(pp’-qq’+5rr’-5ss’)\cdot 1+(p’q+pq’+5sr’+5rs’)i$$ $$+(p’r-sq’+pr’-qs’)\sqrt{5}+(p’s+rq’+qr’+ps’)\sqrt{5}i,$$ y los coeficientes de $1,$ $i,$ $\sqrt{5}$ y $\sqrt{5}i$ son racionales, por tanto $\alpha\alpha’\in K’.$

2. Veamos que todo $\alpha=p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i\in K’$ no nulo tiene inverso en $K’.$ Para ello, probemos previamente que $$\alpha=0\Leftrightarrow (p,q,r,s)= (0,0,0,0).$$ $\Leftarrow)$ Esta implicación es trivial.
$\Rightarrow)$ Tenemos igualando partes reales e imaginarias $$p+qi+r\sqrt{5}+s\sqrt{5}i=0\Rightarrow (p+r\sqrt{5})+(q+s\sqrt{5})i=0$$ $$\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & p+r\sqrt{5}=0\\& q+s\sqrt{5}=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Si $r=0,$ entonces $p=0.$ Si $r\ne 0$ tendríamos $\sqrt{5}=-p/r$ lo cual es absurdo pues $\sqrt{5}$ es irracional. Concluimos que $p=r=0.$ De manera análoga se demuestra que $q=s=0.$

Sea $0\ne \alpha \in K’.$ Entonces, $$\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{(p+r\sqrt{5})+(q+s\sqrt{5})i}=\frac{(p+r\sqrt{5})-(q+s\sqrt{5})i}{(p+r\sqrt{5})^2+(q+s\sqrt{5})^2}$$ $$=\frac{p+r\sqrt{5}-qi-s\sqrt{5}i}{\underbrace{(p^2+q^2+5r^2+5s^2)}_{x}+\underbrace{2(pr+qs)}_{y}\sqrt{5}}$$ $$=\frac{(p+r\sqrt{5}-qi-s\sqrt{5}i)(x-y\sqrt{5})}{x^2-5y^2}.\qquad (1)$$ Tenemos que $x,y\in\mathbb{Q}$ y dado que $(p,q,r,s)\ne (0,0,0,0),$ se verifica $x^2\ne 0.$ No puede ser $x^2-5y^2=0,$ pues en tal caso, $x^2=5y^2\ne 0$ y $x/y=\sqrt{5}$ lo cual es absurdo al ser $\sqrt{5}$ irracional. Es claro que operando y agrupando en $(1),$ obtenemos que $1/\alpha$ es de la forma $$\frac{1}{\alpha}=A+Bi+C\sqrt{5}+D\sqrt{5}i\text{ con }A,B,C,Q\in\mathbb{Q}$$ lo cual demuestra que $1/\alpha\in K’.$

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