Puntos de inflexión de una familia de curvas

Enunciado
Sea el conjunto de funciones $f_a(x)=\dfrac{x^3+a}{(x+1)^2},$ donde $a\in\mathbb{R}-\{1\}.$
(a) Determinar las funciones de este conjunto cuya representación gráfica admite un punto de inflexión en el cual la tangente es paralela al eje de abscisas.
(b) Probar que todas las funciones de este conjunto tienen una asíntota oblicua común, de la cual se pide la ecuación.

Solución
(a) Hallemos la derivada segunda de $f_a.$ Para todo $x\ne -1:$ $$f_a^{\prime}(x)=\frac{3x^2(x+1)^2-2(x+1)(x^3+a)}{(x+1)^4}=\frac{3x^2(x+1)-2(x^3+a)}{(x+1)^3}$$ $$=\frac{x^3+3x^2-2a}{(x+1)^3},$$ $$f_a^{\prime\prime}(x)=\frac{(3x^2+6x)(x+1)^3-3(x+1)^2(x^3+3x^2-2a)}{(x+1)^6}$$ $$=\frac{(3x^2+6x)(x+1)-3(x^3+3x^2-2a)}{(x+1)^4}=\frac{6(x-a)}{(x+1)^4}.$$ Los posibles puntos de inflexión se obtienen para los $x$ tales que $f_a^{\prime\prime}(x)=0$ es decir para $x=-a$ con $a\ne 1.$ Para valores $x<-a$ suficientemente próximos a $a,$ claramente $f_a^{\prime\prime}(x)<0$ y para valores $x>-a$ suficientemente próximos a $a,$ claramente $f_a^{\prime\prime}(x)>0.$ Cambia la concavidad, en consecuencia en $x=-a$ con $a\ne 1$ hay punto de inflexión para $f_a.$ En estos puntos de inflexión la tangente es paralela al eje de abscisas sii $f’_a(-a)=0.$ Entonces, $$f’_a(-a)=0\Leftrightarrow\frac{-a^3+3a^2-2a}{(-a+1)^3}=0\Leftrightarrow \frac{-a(a-1)(a-2)}{(-a+1)^3}=0$$ $$\Leftrightarrow \frac{a(a-2)}{(-a+1)^2}=0\underbrace{\Leftrightarrow}_{a\ne 1} a(a-2)\Leftrightarrow a=0\;\vee\;a=2.$$ Las funciones pedidas son por tanto $f_0$ y $f_2.$

(b) Para todo $a\in\mathbb{R}-\{1\},$ $$m=\lim_{x\to \infty}\frac{f_a(x)}{x}=\lim_{x\to \infty}\frac{x^3+a}{x(x+1)^2}=1,$$ $$b=\lim_{x\to \infty}\left(f_a(x)-mx\right)=\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^3+a}{(x+1)^2}-x\right)=\lim_{x\to \infty}\dfrac{-2x^2-x+a}{(x+1)^2}=-2,$$ por tanto $y=x-2$ es asíntota oblicua de $f_a$ para todo $a\in\mathbb{R}-\{1\}.$

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