Algunos conjuntos algebraicos

Estudiamos si algunos conjuntos son algebraicios o no.

Enunciado
1. Determinar explícitamente los siguientes conjuntos algebraicos:
$(a)\; V(x^2+1)\text{ en }\mathbb{R}^1.$
$(b)\;V(x^2+1)\text{ en }\mathbb{C}^1.$
$(c)\;V(x^p-x)$ en $\mathbb{Z}_p^1$ ($p$ primo).
$(d)$ $V(y-x^2,x-y^2)$ en $\mathbb{R}^2$ y en $\mathbb{C}^2$.
$(e)$ $V(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)$ en $k^n$ con $k$ cuerpo y $(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$.

2. Estudiar si los siguientes conjuntos son algebraicos
$(a)$ $X=\{(\cos t,\sin t):t\in\mathbb{R}\}$ en $\mathbb{R}^2$.
$(b)$ $Y=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=\sin x\}$ en $\mathbb{R}^2$.
$(c)$ $Z=\{(x,e^x):t\in\mathbb{C}\}$ en $\mathbb{C}^2$.
$(d)$ $U=\{(t,t^2,t^3):t\in\mathbb{R}\}$ en $\mathbb{R}^3$.
$(e)$ $\left\{(t,t):t\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\right\}$ en $\mathbb{R}^2$.

3. La rosa de cuatro pétalos $P\subset\mathbb{R}^2$ se define mediante la ecuación polar $\rho=\sin 2\theta.$
Usar coordenadas polares para demostrar que $$P= V\left((x^2+y^2)^3-4x^2y^2\right),$$ lo cual probará que $P$ es un conjunto algebraico.

Solución
1. $(a)$ La ecuación $x^2+1=0$ no tiene soluciones en $\mathbb{R}$, por tanto $V(x^2+1)=\emptyset$.
$(b)$ Las soluciones de la ecuación $x^2+1=0$ en $\mathbb{C}$ son $\pm i$, por tanto $V(x^2+1)=\{i,-i\}$.
$(c)$ Según el pequeño teorema de Fermat, para todo entero $a$ se verifica que $a^p-a$ es múltiplo de $p$, lo cual implica que $\overline{a}^{\;p}-\bar{a}=\bar{0}$ para todo $\bar{a}\in \mathbb{Z}_p^1.$ En consecuencia $V(x^p-x)=\mathbb{Z}_p^1$.
$(d)$ Si $y-x^2=0\;\wedge\;x-y^2=0$ entonces, $x-x^4=0$ o bien $x(1-x^3)=0$. Las soluciones en $\mathbb{R}$ de esta ecuación son $x=0$ y $x=1$ y en $\mathbb{C}$ son $x=0,$ $x=1$, $x=e^{2\pi i/3}$, $x=e^{4\pi i/3}$. Dado que $y=x^2$, tenemos $$V(y-x^2,x-y^2)=\begin{cases} \{(0,0),(1,1)\} & \text{en}& \mathbb{R}^2\\\{(0,0),(1,1),(e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3}),(e^{4\pi i/3},e^{2\pi i/3})\} & \text{en}& \mathbb{C}^2.\end{cases}$$ $(e)$ Claramente $V(X_1-a_1,\ldots,X_n-a_n)=\{(a_1,\ldots,a_n)\}$.

2. $(a)$ $X$ es el conjunto de puntos de la circunferencia $x^2+y^2=1$, en consecuencia $X=V(x^2+y^2-1)\subset \mathbb{R}^2$ es algebraico.
$(b)$ La curva $y=\sin x$ y la recta $y=0$ tienen infinitos puntos de intersección. Pero sabemos si $C$ es una curva afín plana y $L$ una recta plana no contenida en $C$ entonces $L\cap C$ es $\emptyset$ o contiene un número finito de puntos. Concluimos que $Y$ no es algebraico.
$(c)$ La curva $y=e^x$ y la recta $y=1$ tienen infinitos puntos de intersección, exactamente los puntos $(2\pi i k,1)$ con $k\in \mathbb{Z}.$ En consecuencia $Z$ no es algebraico.
$(d)$ Es claro que los puntos de $U$ son exactamente los puntos $(x,y,z)$ de $\mathbb{R}^3$ que satisfacen $y-x^2$ y $z-x^3.$ Es decir $U=V(y-x^2,z-x^3)$ y por tanto $U$ es algebraico.
$(e)$ Mirar aquí.

3. Mirar aquí.

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