Menor subanillo que contiene a un conjunto

Construimos el menor subanillo que contiene a un conjunto incluido en un anillo.

Enunciado
Sean $R$ un anillo y $\mathcal{F}$ una familia de subanillos de $R$.
1. Demostrar que $R_1=\bigcap_{S\in\mathcal{F}}S$ es subanillo de $R$.
2. Sea $G$ un subconjunto de $R$ y denotemos $$R[G]=\bigcap_{S\in\mathcal{C}} \text{ con } \mathcal{C}=\{S\text{ subanillo de }R:G\subset S\}.$$ Demostrar que $R[G]$ es el menor subanillo de $R$ respecto de la inclusión que contiene a $G$.
3. Demostrar que $R[G]$ está constituido por todos los elementos de $R$ que son sumas finitas de productos finitos de elementos de $G\cup (−G)$.

Solución
1. Usamos el teorema de caracterización de subanillos. Como $0\in S$ para todo $S\in\mathcal{F}$ deducimos que $0\in R_1$ y por tanto $R_1\ne \emptyset$. Si $a,b\in R_1$ entonces $a,b\in S$ para todo $S\in \mathcal{F}$ y por tanto $a-b\in S$ para todo $S\in \mathcal{F}$ por ser $S$ subanillo. Es decir, $a-b\in R_1$. Análogamente, si $a,b\in R_1$ entonces $a,b\in S$ para todo $S\in \mathcal{F}$ y por tanto $ab\in S$ para todo $S\in \mathcal{F}$ por ser $S$ subanillo. Es decir, $ab\in R_1$.

2. Por el apartado anterior, $R[G]$ es subanillo de $R$. Como $G\subset S$ para todo $S\in\mathcal{C}$, tenemos $G\subset \bigcap_{S\in\mathcal{C}}=R[G]$. Por otra parte, si $T$ es un subanillo de $R$ que contiene a $G$ entonces $T\in \mathcal{C}$ y por tanto $R[G]=\bigcap_{S\in\mathcal{C}}S\subset T$. La propiedad queda demostrada.

3. Llamemos $X$ al conjunto de los elementos de $R$ son sumas finitas de productos finitos de elementos de $G\cup (−G)$ y veamos primeramente que $X$ es subanillo de $R$ que contiene a $G.$ Es claro que $G\subset X$ pues si $x\in G$, $x$ es suma finita de productos finitos de elementos de $G\cup (−G)$ (un sumando y un factor: el $x$).

$X$ es subanillo de $R.$ En efecto, $0$ es (según un conocido convenio) una suma vacía y por tanto pertenece a $P$ es decir, $P\ne \emptyset$. Denotemos $G\cup (−G)=\{g_i\}$ y sean $a,b\in X$, entonces $$a=\sum_{\text{finita}} \left( \prod_{\text{finito}} g_i \right),\; b=\sum_{\text{finita}} \left( \prod_{\text{finito}} g’_j \right) \text{ con }g_i,g’_j\in G\cup (−G),$$ $$a-b=\sum_{\text{finita}} \left( \prod_{\text{finito}} g_i \right)-\sum_{\text{finita}} \left( \prod_{\text{finito}} g’_j \right).$$ Si $g_1,\ldots,g_m\in G\cup (−G)$ tenemos $-(g_1g_2\ldots g_m)=(-g_1)g_2\ldots g_m\in G\cup (−G)$. Por tanto $$a-b=\sum_{\text{finita}} \left( \prod_{\text{finito}} g_i \right)+\sum_{\text{finita}} \left( \prod_{\text{finito}} g^{\prime\prime}_j \right) \text{ con }g_i,g^{\prime\prime}_j\in G\cup (−G)$$ y por ser $a-b$ suma finita de productos finitos de $G\cup (−G)$, pertenece a $X$. Es claro que al aplicar la propiedad distributiva de $R$, $ab$ es suma finita de productos finitos de $G\cup (−G)$ y por tanto pertenece a $X$.

Como $R[G]\subset X$ (por el apartado anterior), basta demostrar que $X\subset R[G]$. Pero esto es claro pues al ser $G\subset X$ y $G\subset R[G]$ (subanillo), el producto finito de elementos de $G$ está en $R[G]$ y la suma finita de elementos de $G$ también está en $R[G]$.

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