Ecuación diferencial transformable en exacta por simplificación

Transformamos una ecuación diferencial en exacta por simplificación.

Enunciado
Resolver la ecuación diferencial $(xy+y\log y)dx + (xy+ x\log x)dy = 0.$

Solución
Fácilmente comprobamos que la ecuación no es diferencial exacta, ahora bien dividiendo entre $xy$ obtenemos la ecuación $$\left(1+\displaystyle\frac{\log y}{x}\right)dx + \left(1+\displaystyle\frac{\log x}{y}\right)dy = 0.$$ Se verifica $P_y=Q_x=1/(xy)$ y por tanto al ecuación se transforma en una diferencial exacta. Busquemos $u$ tal que $u_x=P$ y $u_y=Q.$ Tenemos $$\displaystyle u_x=P\Rightarrow u=\int Pdx=\int\left(1+\displaystyle\frac{\log y}{x}\right)dx=x+(\log y)(\log x)+\varphi (y).$$ Usando $u_y=Q$: $$1+\dfrac{\log x}{y}+\varphi^\prime (y)=\dfrac{\log x}{y}\Rightarrow \varphi^\prime (y)=0\Rightarrow \varphi (y)=y+C.$$ La solución general es por tanto $$y+x+(\log y)(\log x)+C=0.$$

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