Convergencia de una serie según parámetro

Analizamos la convergencia de una serie que depende de un parámetro.

Enunciado
Analizar la convergencia de la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\right|^p$ según el parámetro $p\in\mathbb{R}$.

Solución
Dado que $0<1/n<\pi/2$ para todo $n=1,2,\ldots$, se verifica $\cos (1/n)>0$ y por tanto la serie está bien definida. Se verifica $$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1}\underbrace{=}_{\text{indet. }0/0}\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1}=1\Rightarrow \log x\underbrace{\sim}_{x\to 1} x-1.$$ Tenemos por tanto $$n\to +\infty\Rightarrow \dfrac{1}{n}\to 0\Rightarrow \cos \dfrac{1}{n}\to 1\Rightarrow \log\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)\underbrace{\sim}_{n\to +\infty} \left(\cos\dfrac{1}{n}\right)-1.$$ Por otra parte sabemos que $1-\cos x\underbrace{\sim}_{x\to 0}x^2/2$ en consecuencia $$\left(\cos\dfrac{1}{n}\right)-1\underbrace{\sim}_{n\to +\infty}-\dfrac{1}{2n^2}.$$ En consecuencia la convergencia de la serie dada equivale a la convergencia de la serie $$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left|-\dfrac{1}{2n^2}\right|^p=\dfrac{1}{2^p}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2p}}.$$ Por el conocido teorema de las series de Riemann, la serie es convergente sii $2p>1$, es decir sii $p>1/2.$

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