Límite de una sucesión recurrente aplicando el criterio de Stolz

Calculamos el límite de una sucesión recurrente aplicando el criterio de Stolz.

Enunciado
Se considera la sucesión $a_n$ definida como $$\begin{cases} a_1=1 \\a_{n+1}=\sqrt{a_1+a_2+\cdots+a_n}. \end{cases}$$ Demostrar que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_n}{n}=\frac{1}{2}$.

Solución
Elevando al cuadrado tenemos: $$a_{n+1}^2=\left(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\right)+a_n=a_n^2+a_n.$$ La sucesión es claramente creciente y de términos positivos, luego tiene límite $L\in (0,+\infty]$. Si $L$ es finito, tomando límites en $a_{n+1}^2=a_n^2+a_n$ obtenemos $L^2=L^2 + L$ y por tanto $L=0$, lo cual es absurdo. En consecuencia $\lim a_n = +\infty$. Por otra parte, $$a_{n+1}^2=a_n^2+a_n\Rightarrow \left(\dfrac {a_{n+1}} {a_n}\right)^2 = 1 + \frac 1 {a_n}\Rightarrow \left(\lim a_n\right)^2=1+0=1\Rightarrow \lim a_n=1.$$ Además $$a_{n+1}^2=a_n^2+a_n\Rightarrow a_{n+1}^2-a_n^2=a_n\Rightarrow \left(a_{n+1} – a_n\right)\left(a_{n+1} + a_n\right)=a_n$$ $$\Rightarrow a_{n+1} – a_n = \dfrac {a_n} {a_{n+1} + a_n}\Rightarrow a_{n+1} – a_n =\dfrac{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_n}+1}$$ $$\Rightarrow \lim \left(a_{n+1} – a_n\right)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.$$ Por último $$\displaystyle\frac{1}{2}=\lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{(n+1)-n}\underbrace{\Rightarrow}_{\text{Crit. Stolz}}\lim_{n\to +\infty}\frac{a_n}{n}=\frac{1}{2}.$$

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