Los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado

Definimos el concepto de cuerpo ordenado y demostramos que los complejos no lo pueden ser.

Enunciado
Sea $(K,+,\cdot)$ un cuerpo y $\le$ una relación de orden total en $K.$ Decimos que $(K,\le)$ es un cuerpo ordenado si se verifican los axiomas $$\begin{aligned}&(K1)\quad \forall a,b,c\in K,\quad a\le b\Rightarrow a+c\le b+c.\\
&(K2)\quad \forall a,b\in K,\quad a\ge 0 \text{ y } b\ge 0\Rightarrow ab\ge 0.
\end{aligned}$$ Es claro que $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ son cuerpos ordenados con el orden usual, sin embargo:
Demostrar que ningún orden total en $\mathbb{C}$ le puede dar estructura de cuerpo ordenado.

Solución
Supongamos que $(\mathbb{C},\le)$ fuera un cuerpo ordenado. Como $i\ne 0$ tenemos $i>0$ o $i<0.$ Primer caso: $i>0.$ Entonces $$i^2=i\cdot i\underbrace{\ge}_{\text{por }(K2)}0\Rightarrow-1\ge 0\underbrace{\Rightarrow}_{\text{por }(K1)}-1+1\ge 0+1\Rightarrow 0\ge 1.$$ Por otra parte $$-1\ge 0\underbrace{\Rightarrow}_{\text{por }(K2)}(-1)^2\ge 0\Rightarrow 1\ge 0.$$ Al ser $1\ne 0$ tenemos a la vez $0>1$ y $1>0$ lo cual es absurdo.
Segundo caso: $i<0.$ Entonces $$0-i\underbrace{\ge}_{\text{por }(K1)}i-i\Rightarrow-i\ge 0\underbrace{\Rightarrow}_{\text{por }(K2)}(-i)^2\ge 0\Rightarrow -1\ge 0.$$ Por otra parte $$-1\ge 0 \text{ y}-i\ge 0\underbrace{\Rightarrow}_{\text{por }(K2)}(-1)(-i)\ge 0\Rightarrow i\ge 0.$$ No puede ser a la vez $i<0$ e $i\ge 0$, con lo cual obtenemos otro absurdo.

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