Condiciones suficientes para que un polinomio sea irreducible en $\mathbb{K}[x]$

Enunciamos y demostramos condiciones suficientes para que polinomios de grado menor o igual que $3$ sean irreducibles sobre un cuerpo genérico $\mathbb{K}$.

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $p(x)\in \mathbb{K}[x].$
(a) Demostrar que si $\text{grado }p(x)=1$, entonces $p(x)$ es irreducible.
(b) Demostrar que si $p(x)$ es un polinomio cuadrático o cúbico sin raíces en $\mathbb{K}$, entonces $p(x)$ es irreducible.
(c) Demostrar que los siguientes polinomios de $\mathbb{Z}_2[x]$ son irreducibles: $$x,\;x+1,\;x^2+x+1,\;x^3+x+1,\;x^3+x^2+1.$$ (d) Descomponer $p(x)=x^4+x^3+x^2+1\in\mathbb{Z}_2[x]$ en producto de factores irreducibles.
(e) Descomponer $p(x)=x^3+x^2-2x-2\in\mathbb{Q}[x]$ en producto de factores irreducibles.

Solución
(a) Si $p(x)=q(x)h(x)$ entonces, $$1=\text{grado }p(x)=\text{grado }q(x)+\text{grado }h(x).$$ Esto implica que $\text{grado }q(x)=0$ o bien $\text{grado }h(x)=0$, es decir o bien $q(x)$ o bien $h(x)$ es una unidad y por tanto $p(x)$ es irreducible.

(b) Si $\text{grado }p(x)=2\text{ o }3$ y $p(x)$ no tiene ceros en $\mathbb{K}$, entonces no tiene factores de grado $1$. Si $p(x)=q(x)h(x)$ tendríamos o bien $$2=\text{grado }q(x)+\text{grado }h(x)\text{ o bien, }3=\text{grado }q(x)+\text{grado }h(x).$$ Pero al ser los grados de $q(x)$ y $h(x)$ distintos de $1$, lo cual implica en ambos casos que o bien el grado de $q(x)$ o el de $h(x)$ ha de ser cero luego $p(x)$ es irreducible.

(c) Los dos primeros polinomios son de primer grado. Los restantes son de grado $2$ o $3$ y claramente no tienen raíces en $\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$. Por lo demostrado en los apartados $(a)$ y $(b)$, concluimos que todos los polinomios dados son irreducibles.

(d) Tenemos $p(1)=0.$ Aplicando el algoritmo de Ruffini:
$$\begin{array}{r|rrrrr}
& 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\1 & & 1 & 0 & 1 & 1\\\hline & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array} \Rightarrow p(x)=(x-1)(\underbrace{x^3+x+1}_{p_1(x)}).$$ Ahora bien, vimos en el apartado $(c)$ que $p_1(x)$ es irreducible luego la descomposición pedida es $p(x)=(x-1)p_1(x)$.

(e) Tenemos $p(-1)=0.$ Aplicando el algoritmo de Ruffini:
$$\begin{array}{r|rrrrr}
& 1 & 1 & -2 & -2 & \\-1 & & -1 & 0 & 2 \\\hline & 1 & 0 & -2 & 0 \end{array} \Rightarrow p(x)=(x+1)(\underbrace{x^2-2}_{p_1(x)}).$$ El polinomio $p_1(x)$ es de grado $2$ y no tiene raíces racionales, por tanto es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ luego la factorización pedida es $p(x)=(x+1)p_1(x)$.

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