Factorización de un polinomio homogéneo en $\mathbb{R}[x,y]$

Factorizamos un polinomio homoéneo de grado $4$ en dos variables.

Enunciado
Factorizar $\; P(x,y)=30x^4-41x^3y-129x^2y^2+100xy^3+150y^4\in\mathbb{R}[x,y].$

Solución
Consideremos $P(x,y)$ como polinomio de $\left(\mathbb{R}[y]\right)[x]$: $$P(x,y)=30x^4+(-41y)x^3+(-129y^2)x^2+(100y^3)x+150y^4$$ y ensayemos soluciones de la forma $x=ky$. Entonces, $$P(ky,y)=\left(30k^4-41k^3-129k^2+100k+150\right)y^4=0.$$ Aplicando el teorema de las raíces racionales a la ecuación $$30k^4-41k^3-129k^2+100k+150=0,$$ obtenemos las soluciones $k=-3/2$ and $k=5/3$, luego $$x=-\dfrac{3}{2}y,\quad x=\dfrac{5}{3}y$$ son raíces de $P(x,y).$ Podemos por tanto escribir $$P(x,y)=\left(x+\frac{3}{2}y\right)\left(x-\frac{5}{3}y\right)Q(x,y).$$ Usando el algoritmo de Ruffini
$$\begin{array}{r|rrrrr}
& 30 & -41y & -129y^2 & 100y^3 & 150y^4 \\
-\dfrac{3}{2}y & & -45y & 129y^2 & 0 & -150y^4 \\
\hline & 30 & -86y & 0 & 100y^3 & 0\end{array}$$ $$\Rightarrow P(x,y)=\left(x+\frac{3}{2}y\right)(\underbrace{30x^3-86yx^2+100y^3}_{Q_1(x,y)}).$$ Aplicando de nuevo el algoritmo a $Q_1(x,y)$: $$\begin{array}{r|rrrrr}
& 30 & -86y & 0 & 100y^3 \\
\dfrac{5}{3}y & & 50y & -60y^2 & -100y^3 \\
\hline & 30 & -36y & -60y^2 & 0 \end{array}$$ $$\Rightarrow P(x,y)=\left(x+\frac{3}{2}y\right)(\underbrace{30x^3-86yx^2+100y^3}_{Q_1(x,y)})$$ $$=\left(x+\frac{3}{2}y\right)\left(x-\frac{5}{3}y\right)\left(30x^2-36yx-60y^2\right)$$ $$=\dfrac{1}{6}(2x+3y)(3x-5y)\left(30x^2-36yx-60y^2\right)$$ $$=(2x+3y)(3x-5y)\left(5x^2-6yx-10y^2\right).$$
Factoricemos ahora $Q_2(x,y)=5x^2-6yx-10y^2$. Resolviendo la ecuación de segundo grado en $x$: $$5x^2-6yx-10y^2=0,\quad x=\dfrac{6y\pm \sqrt{236y^2}}{10}=\dfrac{6y\pm 2\sqrt{59}y}{10},$$ $$x=\dfrac{3+\sqrt{59}}{5}y,\quad x=\dfrac{3-\sqrt{59}}{5}y$$ Podemos por tanto expresar $$\boxed{\; P(x,y)=5(2x+3y)(3x-5y)\left(x-\dfrac{3+\sqrt{59}}{5}y\right)\left(x-\dfrac{3-\sqrt{59}}{5}y\right)\;}$$

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.