Rango de una función definida en $[0,1]$

Determinamos el rango de una función definida en $[0,1]$

Enunciado
Determinar el rango de la función $\;f:[0,1]\to \mathbb{R},\;\displaystyle f(x) = \frac{(1+x)^{0.6}}{1+x^{0.6}}.$

Solución
La función es elemental y está definida en $[0,1]$, en consecuencia es continua. Analicemos su comportamiento en términos de crecimiento o decrecimiento. Para todo $x\in[0,1]$ tenemos $$f’(x)=\dfrac{0.6(1+x)^{-0.4}\left(1+x^{0.6}\right)-0.6x^{-0.4}(1+x)^{0.6}}{\left(1+x^{0.6}\right)^2}$$ $$=0.6\cdot\dfrac{\dfrac{1+x^{0.6}}{(1+x)^{0.4}}-\dfrac{(1+x)^{0.6}}{x^{0.4}}}{\left(1+x^{0.6}\right)^2}=0.6\cdot \dfrac{x^{0.4}+x-(1+x)}{(1+x)^{0.4}x^{0.4}\left(1+x^{0.6}\right)^2}$$ $$=0.6\cdot \dfrac{x^{0.4}-1}{(1+x)^{0.4}x^{0.4}\left(1+x^{0.6}\right)^2}.$$ Para todo $x\in[0,1]$ el denominador es positivo y el numerador negativo, luego $f’(x)<0$ y la función es estrictamente decreciente. Por otra parte tenemos $$f(0)=1,\quad f(1)=\dfrac{2^{0.6}}{1+1}=\dfrac{2^{3/5}}{2}=\dfrac{1}{2^{2/5}}=\dfrac{1}{\sqrt[5]{4}}.$$ Del teorema de los valores intermedios para funciones continuas, deducimos que $$\boxed{\;\text{rango }f=\left[\dfrac{1}{\sqrt[5]{4}},1\right]\;}$$

Esta entrada fue publicada en Cálculo/Análisis. Guarda el enlace permanente.