Acotación del rango del producto de dos matrices

Demostramos una acotación del rango del producto de dos matrices.

Enunciado
Sean $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A$ y $B$ matrices multiplicables con elementos en $\mathbb{K}.$ Demostrar que $\text{rango }(AB)\leq \min\left\{\text{rango }A, \text{rango }B\right\}.$

Solución
Supongamos que $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$, $B\in\mathbb{K}^{n\times p}$: $$A=\begin{bmatrix} a_{11}& \ldots & a_{1n}\\ \vdots &&\vdots \\ a_{m1}& \ldots & a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathbf{a_1},\ldots,\mathbf{a_n}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} b_{11}& \ldots & b_{1p}\\ \vdots &&\vdots \\ b_{n1}& \ldots & b_{np}\end{bmatrix}.$$ Multiplicando, $$AB=\begin{bmatrix}\mathbf{a_1},\ldots,\mathbf{a_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11}& \ldots & b_{1p}\\ \vdots &&\vdots \\ b_{n1}& \ldots & b_{np}\end{bmatrix}$$ $$=\begin{bmatrix}b_{11}\mathbf{a_1}+\cdots+b_{n1}\mathbf{a_n}\;,\;\ldots\;,\;b_{1p}\mathbf{a_1}+\cdots+b_{np}\mathbf{a_n}\end{bmatrix}.$$ Es decir, las columnas de $AB$ son combinaciones lineales de las columnas de $A$. Esto implica que el subespacio generado por las columnas de $AB$ está contenido en el generado por las columnas de $A$ y por tanto, $\text{rango }(AB)\le \text{rango }A.$

Veamos ahora que $\text{rango }(AB)\le \text{rango }B.$ Usando que $\text{rango } M = \text{rango }M^T$ y aplicando la propiedad ya demostrada: $$\text{rango }(AB)=\text{rango }\left((AB)^T\right)=\text{rango }\left(B^TA^T\right)\le \text{rango }B^T=\text{rango }B.$$ Concluimos pues que $$\text{rango }(AB)\leq \min\left\{\text{rango }A, \text{rango }B\right\}.$$

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