Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos

Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma.

Enunciado
Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de $x$ como el número real no negativo $\left\|x\right\|=\sqrt{\langle x,x \rangle}$.
1. Demostrar que para todo $x,y\in P$ se verifica la desigualdad de Schwarz: $$\left |\langle x,y\rangle \right |\le \left\|x\right\|\left\|y\right\|.$$ 2. Demostrar que efectivamente la aplicación $\left\|\;\right\|$ satisface las tres propiedades de una norma.

Solución
1. Llamemos $a=\langle x,x \rangle\ge 0$, $b=\langle x,y\rangle$, $c=\langle y,y\rangle\ge 0.$ Entonces, para todo $\lambda \in\mathbb{C}$: $$\langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle+\lambda \langle y,x\rangle+\bar{\lambda}\langle x,y\rangle+\lambda\bar{\lambda}\langle y,y\rangle$$ $$=a+\bar{b}\lambda+b\bar{\lambda}+c\lambda\bar{\lambda}\ge0.\qquad (*)$$ Primer caso: $c\ne 0$. Tomando $\lambda=-b/c$ y sustituyendo en $(*)$:
$$a-\dfrac{\bar{b}b}{c}-\dfrac{b\bar{b}}{c}+c\dfrac{b\bar{b}}{c^2}=a-\frac{b\bar{b}}{c}\ge0\Rightarrow ac-\left|b\right|^2\ge 0$$ $$\Rightarrow \left\|x\right\|^2\left\|y\right\|^2\ge \left |\langle x,y\rangle \right |^2\Rightarrow \left |\langle x,y\rangle \right |\le \left\|x\right\|\left\|y\right\|.$$ Segundo caso: $c=0$. Si $a\ne 0$, para todo $\lambda \in\mathbb{C}$: $$\langle \lambda x +y,\lambda x +y\rangle=\lambda\bar{\lambda}\langle x,x\rangle+\bar{\lambda}\langle y,x\rangle+\lambda \langle x,y\rangle+\langle y,y\rangle$$ $$=\left|\lambda\right|^2a+\bar{\lambda}\bar{b}+\lambda b\ge 0.$$ Tomando $\lambda=-\bar{b}/a$ en la desigualdad anterior y teniendo en cuenta que $a>0$
$$\frac{\left|b\right|^2}{a^2}a-\frac{\left|b\right|^2}{a}-\dfrac{\left|b\right|^2}{a}=-\dfrac{\left|b\right|^2}{a}\ge 0\Rightarrow \left|b\right|^2\le 0,$$ con lo cual ha de ser $b=\langle x,y\rangle=0$ y la desigualdad $\left |\langle x,y\rangle \right |\le \left\|x\right\|\left\|y\right\|$ se satisface trivialmente. Por último, si $a=0,$ tomando $\lambda=-b$ en $(*)$ queda $-2b\bar{b}\ge 0$ o bien $b\bar{b}=\left|b\right|^2\le 0$ lo cual implica que $b=\langle x,y\rangle=0$ y la desigualdad $\left |\langle x,y\rangle \right |\le \left\|x\right\|\left\|y\right\|$ de nuevo se satisface trivialmente.

2. (a) $ \left\|x\right\|=0\Leftrightarrow \sqrt{\langle x,x \rangle}=0\Leftrightarrow \langle x,x \rangle\Leftrightarrow x=0.$

(b) $\left\|\lambda x\right\|^2=\langle \lambda x,\lambda x \rangle=\lambda \bar{\lambda}\langle x,x \rangle=\left|\lambda\right|^2\left\|x\right\|^2$, lo cual implica $\left\|\lambda x\right\|=\left|\lambda\right|\left\|x\right\|$.

(c) Tenemos $$\left\|x+y\right\|^2=\langle x+y,x+y \rangle=\langle x,x \rangle+\langle x,y \rangle+\langle y,x \rangle+\langle y,y \rangle$$ $$=\left\|x\right\|^2+\langle x,y \rangle+\overline{\langle x,y \rangle}+\left\|y\right\|^2=\left\|x\right\|^2+2\text{Re }\langle x,y \rangle+\left\|y\right\|^2$$ $$\le \left\|x\right\|^2+2\left|\langle x,y \rangle\right|+\left\|y\right\|^2\underbrace{\le}_{\text{Des. Schw.}}\left\|x\right\|^2+2\left\| x\right\|\left\| y\right\|+\left\|y\right\|^2 =\left(\left\|x\right\|+\left\|y\right\|\right)^2$$ y tomando raíces cuadradas queda $\left\|x+y\right\|\le \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$.

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