$\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$

Demostramos que $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en el anillo $\mathbb{Z}[x]$.

Enunciado
Demostrar que el ideal de $\mathbb{Z}[x]$ dado por $I=\langle 2,x \rangle$ no es principal.

Solución
Por definición, $$I=\langle 2,x \rangle=\{f(x)\in \mathbb{Z}[x]:f(x)=g(x)x+2h(x)\text{ con }g(x),h(x)\in\mathbb{Z}[x]\}.$$ El término constante de todo polinomio $f(x)$ ha de ser par y recíprocamente, si $$f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$$ con $a_0$ par, entonces $$f(x)=\left(a_nx^{n-1}+\dots+a_1\right)x+\frac{a_0}{2}\cdot2\in I.$$ Por tanto, $$I=\langle 2,x \rangle = \{a_nx^n+\dots+a_1x+a_0: a_0\text{ es par}\}.$$ Veamos que $I$ no es ideal principal. En efecto, si lo fuera existiría $p(x)\in \mathbb{Z}[x]$ tal que $I=\langle p(x) \rangle .$ Pueden ocurrir dos casos.

1) $p(x)=k\ne 0$ constante. Entonces $k=1\cdot k\in \langle p(x) \rangle$ y por tanto $k$ ha de ser par. Esto implica que todos los polinomios de $I$ son de la forma $kg(x)$, es decir todos los polinomios de $\langle p(x) \rangle$ tienen todos sus coeficientes pares y $x\notin \langle p(x) \rangle$ (contradicción).

2) $p(x)$ tiene grado $\ge 1.$ En tal caso, los polinomios de $\langle p(x) \rangle$ tienen grado $\ge 1$ y $2\notin \langle p(x) \rangle$ (contradicción).

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