Teorema de los valores extremos sobre un compacto

Demostramos que toda función real continua sobre un compacto alcanza sus valores extremos y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
(a) Demostrar el teorema de los valores extremos sobre un compacto:
Sea $(X,T)$ un espacio topológico, $K\subset X$ un compacto no vacío y $f:K\to\mathbb{R}$ una función continua en donde en $\mathbb{R}$ se considera la topología usual. Demostrar que la función $f$ alcanza un máximo y mínimo absoluto en $K$.
(b) Se considera la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\left|x^3+\cos x\right|$. Demostrar que $f$ alcanza en $[0,1]$ un máximo y un mínimo absolutos.

Solución
(a) Dado que $K$ es compacto y $f$ is continua, $f(K)$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ y por tanto cerrado y acotado. Por ser $f(K)$ acotado existen
$$-\infty < m=\inf f(K),\quad M=\sup f(X ) <+\infty.$$ Por ser $f(K)$ cerrado, $m, M\in f(K)$ y por tanto existen $x_1,x_2\in K$ tales que $f(x_1)=m$, $f(x_2)=M$ y el teorema queda demostrado.

(b) La función $g(x)=x^3+\cos x$ es elemental y está definida en $[0,1]$, en consecuencia es continua en tal intervalo. Por otra parte, $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por $h(x)=|x|$ es continua y además $f=h\circ g$. Como la composición de funciones continuas es continua, $f$ es continua en el compacto $[0,1]$. Por el teorema anterior, $f$ alcanza en $[0,1]$ un máximo y un mínimo absolutos.

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