Triedro de Frenet, rectas y planos asociados

Proporcionamos un ejemplo de cálculo de los vectores que determinan el triedro de Frenet en un punto de una curva del espacio, así como de las rectas tangente, binormal y normal y de los planos osculador, normal y rectificante.

Enunciado
Se considera la curva $\gamma$ de ecuaciones paramétricas $$\gamma:\begin{cases}x=1-\cos t\\y=\sin t\\z=t\end{cases}$$ (a) Determinar los vectores $\mathbf{T}$ (tangente), $\mathbf{B}$ (binormal) y $\mathbf{N}$ (normal) que determinan el triedro de Frenet de la curva $\gamma$ en un punto genérico de la misma.
(b) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente, binormal y normal a la curva $\gamma$ en el punto $P_0$ correspondiente a $t_0=\pi/2$.
(c) Hallar las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante a la curva $\gamma$ en el punto $P_0$.

Solución
(a) Escribiendo $\gamma$ en forma vectorial, $\mathbf{r}=(1-\cos t,\sin t, t)$ tenemos $$\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(\sin t, \cos t,1),\quad \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=(\cos t, -\sin t,0)$$ $$\mathbf{B}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\begin{vmatrix}{\mathbf{i}}&{\mathbf{j}}&{\mathbf{k}}\\{\sin t}&{\cos t}&{1}\\{\cos t}&{-\sin t}&{0}\end{vmatrix}=(\sin t)\mathbf{i}+(\cos t)\mathbf{j}-\mathbf{k}=(\sin t,\cos t,-1),$$ $$\mathbf{N}=\mathbf{B}\times \mathbf{T}=\begin{vmatrix}{\mathbf{i}}&{\mathbf{j}}&{\mathbf{k}}\\{\sin t}&{\cos t}&{-1}\\{\sin t}&{\cos t}&{1}\end{vmatrix}=(2\cos t)\mathbf{i}-(2\sin t)\mathbf{j}+0\mathbf{k}=(2\cos t,-2\sin t,0).$$ (b) Tenemos $P_0=\mathbf{r}(\pi/2)=(1,1,\pi/2)$. Los vectores del triedro de Frenet en $P_0$ son $$\mathbf{T}(\pi/2)=(1,0,1),\;\mathbf{B}(\pi/2)=(1,0,-1),\;\mathbf{N}(\pi/2)=(0,-2,0).$$ Las rectas pedidas pasan por $P_0$ y tienen la dirección de los vectores con el mismo nombre que las rectas, por tanto $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-\pi/2}{1}\text{ (recta tangente)},$$ $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-\pi/2}{-1}\text{ (recta binormal)},$$ $$\frac{x-1}{0}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-\pi/2}{0}\text{ (recta normal)}.$$ (c) El plano osculador contiene a $\mathbf{T}$ y $\mathbf{N}$, por tanto un vector normal es $\mathbf{B}$: $$1(x-1)+0(y-1)-1(z-\pi/2)=0,\text{ o bien }x-z+\pi/2-1=0.$$ El plano normal contiene a $\mathbf{B}$ y $\mathbf{N}$, por tanto un vector normal es $\mathbf{T}$: $$1(x-1)+0(y-1)+1(z-\pi/2)=0,\text{ o bien }x+z-1-\pi/2=0.$$ El plano rectificante contiene a $\mathbf{B}$ y $\mathbf{T}$, por tanto un vector normal es $\mathbf{N}$: $$0(x-1)-2(y-1)+0(z-\pi/2)=0,\text{ o bien }y-1=0.$$

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