Caracterizaciones de la continuidad en espacios topológicos

Proporcionamos varias caracterizaciones de la continuidad es espacios topológicos.

Enunciado
Sean $(X,T)$, $(Y,T^*)$ dos espacios topológicos. Por definición, una aplicación $f:(X,T)\to (Y,T^*)$ es continua sii $f^{-1}(G)\in T$ para todo $G\in T^*$ es decir, si la imagen inversa de todo abierto es abierto.
(a) Sea $\mathscr{B}$ una base de de $T^*.$ Demostrar que $$f:(X,T)\to (Y,T^*)\text{ es continua}\Leftrightarrow f^{-1}(H)\in T\quad\forall H\in\mathscr{B}.$$ (b) Sea $\mathscr{S}$ una subbase de $T^*.$ Demostrar que $$f:(X,T)\to (Y,T^*)\text{ es continua}\Leftrightarrow f^{-1}(S)\in T\quad\forall S\in\mathscr{S}.$$ (c) Demostrar que $f:(X,T)\to (Y,T^*)$ es continua $\Leftrightarrow$ la imagen inversa de todo cerrado en $Y$ es cerrado en $X.$
(d) Demostrar que $f:(X,T)\to (Y,T^*)$ es continua $\Leftrightarrow$ $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$ para todo $A\subset X$.
(e) Por definición, $f:(X,T)\to (Y,T^*)$ $f$ es continua en $p\in X$ sii para todo entorno $V^*$ de $f(p)$ se verifica que $f^{-1}(V^*)$ es entorno de $p$.
Demostrar que $f:(X,T)\to (Y,T^*)$ es continua $\Leftrightarrow f$ es continua en cada punto $p$ de $X$.

Solución
(a) $\Rightarrow)$ Como $\mathscr{B}\subset T^*$, si $H\in \mathscr{B}$ entonces $H\in T^*$ y por tanto, $f^{-1}(H)\in T$ al ser $f$ continua.
$\Leftarrow)$ Si $G\in T^*$ entonces, al ser $\mathscr{B}$ base de $T^*$, $G$ es unión de elementos de $\mathscr{B}$: $G=\cup_{i}H_i$ con $H_i\in \mathscr{B}.$ Tenemos $$f^{-1}(G)=f^{-1}(\cup_{i}H_i)=\cup_i\underbrace{f^{-1}(H_i)}_{\in T}\underbrace{\Rightarrow}_{T\text{ es topolgía}}\cup_if^{-1}(H_i)\in T\Rightarrow f\text{ es continua.}$$ (b) $\Rightarrow)$ Como $\mathscr{S}\subset T^*$, si $S\in \mathcal{S}$ entonces $S\in T^*$ y por tanto, $f^{-1}(S)\in T$ al ser $f$ continua.
$\Leftarrow)$ Si $G\in T^*$ entonces, al ser $\mathscr{S}$ subbase de $T^*$, $G$ es de la forma $$G=\cup_i(S_{i_1}\cap \ldots\cap S_{i_{m_i}})\quad\text{ donde }\quad S_{i_k}\in\mathscr{S}.$$ Tenemos $$f^{-1}(G)=f^{-1}\left(\cup_i(S_{i_1}\cap \ldots\cap S_{i_{m_i}})\right)=\cup_if^{-1}\left(S_{i_1}\cap \ldots\cap S_{i_{m_i}}\right)$$ $$\cup_i\left(f^{-1}(S_{i_1})\cap\ldots \cap f^{-1}(S_{i_{m_i}})\right).$$ Pero $S_{i_k}\in\mathscr{S}$ inplica que $S_{i_k}\in T^* $ y por hipótesis $f^{-1}(S_{i_k})\in T.$ Esto implica que $f^{-1}(G)\in T$ pues es la unión de intersecciones finitas de elementos de $T$. En consecuencia, $f$ es continua.

(c) $\Rightarrow)$ Si $F$ es cerrado en $Y,$ $F^c$ es abierto en $Y$, y por ser $f$ continua $f^{-1}(F^c)$ es abierto en $X.$ Pero $f^{-1}(F^c)=(f^{-1}(F))^c$, luego $f^{-1}(F)$ es cerrado en $X$.
$\Leftarrow)$ Sea $G\subset Y$ abierto. Entonces, $G^c$ es cerrado en $Y.$ Por hipótesis, $f^{-1}(G^c)=(f^{-1}(G))^c$ es cerrado en $X$, con lo cual $f^{-1}(G)$ es abierto en $X$ por tanto, $f$ es continua.

(d) $\Rightarrow)$ Como todo conjunto está contenido en su adherencia, $f(A)\subset \overline{f(A)}$. Entonces, $$A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(\overline{f(A)}).$$ El conjunto $\overline{f(A)}$ es cerrado y por hipótesis $f$ es continua, por tanto $f^{-1}(\overline{f(A)})$ es cerrado luego $A\subset \overline{A}\subset f^{-1}(\overline{f(A)})$ y por tanto $$f(\overline{A}) \subset f(f^{-1}(\overline{f(A)}))\subset\overline{f(A)}.$$ $\Leftarrow )$ Supongamos que $f(\overline{A})\subset \overline{f(A)}$ para todo $A\subset X$ y sea $F\subset Y$ cerrado. Llamemos $A=f^{-1}(F).$ Si demostramos que $A$ es cerrado, o equivalentemente que $\overline{A}=A$, haremos demostrado que $f$ es continua. Tenemos $$f(\overline{A})=f(\overline{f^{-1}(F)})\subset \overline{f(f^{-1}(F))}\subset \overline{F}=F.$$ Por tanto, $\overline{A}\subset f^{-1}(f(\overline{A})) \subset f^{-1}(F)=A$. Al ser $A\subset \overline{A}$, el conjunto $A=f^{-1}(F)$ es cerrado.

(e) $\Rightarrow)$ Sea $V^*$ un entorno de $f(p)$. Entonces, existe abierto $H$ tal que $f(p)\in H\subset V^*$. Por hipótesis $f$ es continua, luego $f^{-1}(H)$ es abierto y $p\in f^{-1}(H)\subset f^{-1}(V^*)$. Es decir, $f^{-1}(V^*)$ es entorno de $p$ y por tanto $f$ es continua en $p$.
$\Leftarrow)$ Supongamos que $f$ es continua en todo $p\in X$ y sea $H\subset Y$ abierto. Para cada $p\in f^{-1}(H)$ existe un abierto $G_p\subset X$ tal que $p\in G_p\subset f^{-1}(H)$. Es decir, $$f^{-1}(H)=\bigcup_{p\in f^{-1}(H)}G_p$$ es unión de abiertos y por tanto abierto, luego $f$ es continua.

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