Caracterizaciones de cuerpos

Proporcionamos dos caracterizaciones para que un anillo conmutativo, unitario y no nulo sea un cuerpo.

Enunciado
Sea $A$ un anillo conmutativo, unitario y no nulo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
$(1)$ $A$ es un cuerpo.
$(2)$ Los únicos ideales de $A$ son $\{0\}$ y $A$.
$(3)$ Cada homomorfismo de $A$ en todo anillo conmutativo, unitario y no nulo $B$, es inyectivo.
Nota. Se consideran los homomorfismos que cumplen $f(1)=1$.

Solución
$(1)\Rightarrow (2).$ Sea $I\ne\{0\}$ un ideal de $A$. Entonces, $I$ contiene un elemento no nulo $a$. Por hipótesis $A$ es cuerpo, luego $a$ es unidad de $A$ y por tanto $$I\supset (a)=(1)=A\Rightarrow I=A.$$ $(2)\Rightarrow (3).$ Sea $f:A\to B$ un homomorfismo de anillos. Entonces, $\ker f$ es un ideal de $A$. Como $f(1)=1$, ha de ser $\ker f\ne A$ y en consecuencia $\ker f=\{0\}$ con lo cual, $f$ es inyectivo.

$(3)\Rightarrow (1).$ Si $a\in A$ no es invertible entonces $(a)\ne (1)$, luego $A/(a)$ no es el anillo nulo. El homomorfismo canónico $p:A\to A/(a)$ tiene como núcleo $\ker p=(a)$. Por hipótesis $p$ es inyecivo luego $(a)=\{0\}$, lo cual implica $a=0$.

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