Longitud de una curva rectificable y parámetro arco

Hallamos la longitud de una arco de curva rectificable y expresamos tal curva en función del parámetro arco.

    Enunciado

    Se considera la curva $\gamma$ de ecuaciones paramétricas $$\gamma:\begin{cases} x=e^t\sin t\\y=e^t\cos t\\z=8e^t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.$$

  1. Demostrar que cualquier arco de $\gamma$ determinado por el intervalo $[a,b]$ es rectificable.
  2. Hallar la longitud del arco de curva que va desde $a=0$ hasta $b=\log 2$.
  3. Expresar la curva dada en función del parametro arco para $t\ge 0$.
    Solución
  1. Según un conocido teorema, una condición suficiente para que un arco de curva $\gamma:[a,b]\to \mathbb{R}^3$ sea rectificable es que $\gamma$ sea de clase $1$ en $[a,b]$. Tenemos $$\gamma’(t)=(e^t\sin t+e^t\cos t,\;e^t\cos t-e^t\sin t,\;8e^t).$$ Las derivadas de las funciones componente existen y son continuas en $\mathbb{R}$, en particular en cualquier intervalo real $[a,b]$, luego ualquier arco de $\gamma$ determinado por el intervalo $[a,b]$ es rectificable.
  2. Para una curva $\gamma$ de clase $1$ en $[a,b]$ sabemos que la longitud $s$ del arco correspondiente viene dada por $s=\int_{a}^{b}\left|\gamma’(t)\right|dt$. En nuestro caso $$\left|\gamma’(t)\right |=\sqrt{(e^t\sin t+e^t\cos t)^2+(e^t\cos t-e^t\sin t)^2+64e^{2t}},$$ y operando obtenemos $\left|\gamma’(t)\right |=\sqrt{66}e^{t}$, por tanto $$s=\int_{0}^{\log 2}\sqrt{66}e^{t}dt=\left[\sqrt{66}e^t\right]_{0}^{\log 2}=2\sqrt{66}-\sqrt{66}=\sqrt{66}.$$
  3. La longitud del arco de curva que desde $t=0$ hasta $t$ genérico viene dado por $$s=\int_{0}^{t}\left|\gamma’(u)\right|du=\left[\sqrt{66}e^u\right]_{0}^{t}=\sqrt{66}e^t-\sqrt{66}.$$ Queda por tanto, $$e^t=\frac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}},\quad t=\log \frac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}},$$ con lo cual la parametrización pedida es $$\gamma:\begin{cases} x=\dfrac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}}\sin \log \dfrac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}}\\y=\dfrac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}}\cos \log \dfrac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}}\\z=8\;\dfrac{s+\sqrt{66}}{\sqrt{66}}\end{cases}\quad s\ge 0.$$
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