Norma en un anillo unitario

Definimos el concepto de norma, tanto arquimediana y no arquimediana en un anillo unitario. Como ejemplos, la norma del valor absoluto y la trivial.

Enunciado
Sea $R$ un anillo unitario con unidad $1=1_R$ y $N:R\to \mathbb{R}^+$ una aplicación. Se dice que $N$ es una norma sobre $R$ si se verifican las condiciones $$\begin{aligned}
& (N1)\quad N(x)=0\Leftrightarrow x=0.\\
& (N2)\quad N(xy)=N(x)N(y)\quad \forall x,y\in R.\\
& (N3)\quad N(x+y)\le N(x)+N(y)\quad \forall x,y\in R.
\end{aligned}$$ A la condición $(N3)$ se la llama desigualdad triangular.
Una norma en un anillo unitario $R$ se dice que es no arquimediana si el axioma $(N3)$ es sustituye por la condición más fuerte $$(N3)’\quad N(x+y)\le\max\{N(x),N(y)\}\forall x,y\in R,$$ llamada desigualdad ultramétrica, y si no se cumple $(N3)’$ la norma se dice que es arquimediana. Frecuentemente se usa la notación $\left\|x\right\|$ en vez de $N(x)$.

  1. Sea $R$ cualquier subanillo unitario de los complejos $\mathbb{C}$. Demostrar que $N(x)=\left|x\right|$ (valor absoluto) es una norma arquimediana en $R$ (en particular, para $R=\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$).
  2. (Norma trivial). Demostrar que en cualquier subanillo unitario $R$ de los complejos $\mathbb{C}$, la aplicación $$\left\|\;\right\|:R\to \mathbb{R}^+,\qquad \left\|x\right\|=\left \{ \begin{matrix} 0 & \mbox{ si } x=0& \\1 & \mbox{ si }x\ne 0\end{matrix}\right.$$ es una norma no arquimediana.
    Solución
  1. Usando las conocidas propiedades del valor absoluto: $$\begin{aligned}
    & (N1)\quad N(x)=\left|x\right|=0\Leftrightarrow x=0.\\
    & (N2)\quad N(xy)=\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|=N(x)N(y)\quad \forall x,y\in R.\\
    & (N3)\quad N(x+y)=\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|= N(x)+N(y)\quad \forall x,y\in R.\\
    \end{aligned}$$ La norma es arquimediana pues
    $$N(1+1)=\left|1+1\right|=2\not\le 1=\max\{N(1),N(1)\}.$$
  2. Por definición $\left\|x\right\|=0\Leftrightarrow x=0.$ Sean $x,y\in R$. Tenemos $$x=0\wedge y=0\Rightarrow xy=0\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \left\|xy\right\|=0=0\cdot 0=\left\|x\right\|\left\|y\right\|\\\left\|x+y\right\|=\left\|0\right\|=0\le \left\|x\right\|+\left\|y\right\|. \end{matrix}\right.$$ $$x\ne 0\wedge y=0\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} xy=0\\x+y\ne 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} \left\|xy\right\|=0=1\cdot 0= \left\|x\right\|\left\|y\right\|\\\left\|x+y\right\|= 1\le 1+0=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|. \end{matrix}\right.$$ El caso $x= 0\wedge y\ne 0$ se razona análogamente. $$ x\ne 0\wedge y\ne 0\Rightarrow xy\ne 0\Rightarrow\left \{ \begin{matrix} \left\|xy\right\|=1=1\cdot 1= \left\|x\right\|\left\|y\right\|\\\left\|x+y\right\|\le 1\le1+1=\left\|x\right\|+\left\|y\right\|. \end{matrix}\right.$$ Por tanto $\left\|\;\right\|$ es norma. Usando los resultados anteriores $$ x=y=0\Rightarrow \left\|x+y\right\|=0\le \max\left\{0,0\right\}=\max\left\{\left\|x\right\|,\left\|y\right\|\right\}.$$ $$ x\ne 0 \wedge y=0\Rightarrow \left\|x+y\right\|=1\le \max\left\{1,0\right\}=\max\left\{\left\|x\right\|,\left\|y\right\|\right\}.$$ El caso $x= 0\wedge y\ne 0$ se razona análogamente. $$ x\ne 0 \wedge y\ne 0\Rightarrow \left\|x+y\right\|\le 1\le \max\left\{1,1\right\}=\max\left\{\left\|x\right\|,\left\|y\right\|\right\}$$ luego la norma no es arquimediana.
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