Ordinales racionales $p$-ádicos

Definimos los ordinales naturales y racionales $p$-ádicos

Enunciado
Sea $p$ un número primo $\ge 2$. Sea $0\ne x\in \mathbb{Z}.$ Se define el ordinal $p$-ádico de $x$ como $$\text{ord}_{p} x=\max\{r\in \mathbb{N}:p^r\mid x \}$$ es decir, $\text{ord}_{p} x$ es el exponente de $p$ en la descomposición de $x$ en producto de factores primos.
Sea $0\ne x=\dfrac{a}{b}\in\mathbb{Q}.$ Se define el ordinal $p$-ádico de $x$ como $$\text{ord}_{p} \frac{a}{b}=\text{ord}_{p} a-\text{ord}_{p} b,$$ Nótese que $\text{ord}_{p} $ está bien definido, es decir $$\frac{a}{b}=\frac{a’}{b’}\Rightarrow \text{ord}_{p} \dfrac{a}{b}=\text{ord}_{p} \dfrac{a’}{b’}.$$ También se define $\text{ord}_{p} 0=\infty.$

  1. Calcular $\text{ord}_{5}200,\; \text{ord}_{2}200,\: \text{ord}_{2}15,\; \text{ord}_{7}(-98)$.
  2. Calcular $\text{ord}_{3}\dfrac{40}{27},\;\text{ord}_{7}\left(-\dfrac{98}{15}\right).$
  3. Demostrar que para todo $x,y\in\mathbb{Q}$ se verifica:
    (a) $\text{ord}_px=\infty\Leftrightarrow x=0.$
    (b) $\text{ord}_p(xy)=\text{ord}_px+\text{ord}_py.$
    (c) $\text{ord}_p(x+y)\ge \min\{\text{ord}_px,\text{ord}_py\}$ con igualdad si $\text{ord}_px\ne \text{ord}_py.$
    Solución
  1. Tenemos $200=2^3\cdot 5^2,$ $15=3\cdot 5$ y $-98=-2\cdot 7^2.$ En consecuencia, $$\text{ord}_{5}200=2,\quad \text{ord}_{2}200=3,\quad \text{ord}_{2}15=0,\quad \text{ord}_{7}(-98)=2.$$
  2. Tenemos $$\text{ord}_{3}\frac{40}{27}=\text{ord}_{3}\frac{2^3\cdot 5}{3^3}=\text{ord}_{3}\left(2^3\cdot 5\right)-\text{ord}_{3}\left(3^3\cdot 5\right)=0-3=-3,$$ $$\text{ord}_{7}\left(-\frac{98}{15}\right)=\text{ord}_{7}\left(-\frac{2\cdot 7^2}{3\cdot 5}\right)=\text{ord}_7\left(-2\cdot 7^2\right)-\text{ord}_7\left(3\cdot 5\right)=2-0=2.$$
  3. (a) Se verifica $\text{ord}_p0=\infty$ por definición, y si $x\ne 0$ entonces $\text{ord}_px$ es claramente finito.
    (b) Expresando $x$ e $y$ no nulos como fracciones irreducibles descompuestas en factores primos: $x=\pm\; p^rp_1^{r_1}\ldots p_m^{r_m},$ $y=\pm\; p^sq_1^{s_1}\ldots q_n^{s_n}.$ Entonces, $$\text{ord}_p(xy)=\text{ord}_p\left(\pm\;p^{r+s}\cdot\ldots\right)=r+s=\text{ord}_px+ \text{ord}_py.$$ Si $x=0$ o $y=0,$ el resultado es trivial.
    (c) Sean $x,y\in\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ con $\text{ord}_px=r,$ $\text{ord}_py=s.$ Entonces, $$x=p^r\frac{a}{b},\quad y=p^s\frac{c}{d},\quad p\not\mid a,b,c,d\quad (r,s\in\mathbb{Z}).$$ Si $r=s,$ tenemos $$x+y=p^r\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)=p^r\frac{ad+bc}{bd}\underbrace{\Rightarrow}_{p\not\mid bd}\text{ord}_p(x+y)\ge r$$ $$=\min\{r,r\}=\min\{\text{ord}_px,\text{ord}_py\}.$$ Si $r\ne s,$ por ejemplo $s > r$ tenemos $$x+y=p^r\frac{a}{b}+p^s\frac{c}{d}=p^r\left(\frac{a}{b}+p^{s-r}\frac{c}{d}\right)=p^r\frac{ad+p^{s-r}bc}{bd}$$ $$\underbrace{\Rightarrow}_{s-r > 0\;\wedge\; p\not\mid ad}\text{ord}_p(x+y)=\min\{\text{ord}_px,\text{ord}_py\}.$$ Si alguno de los términos es nulo, por ejemplo $x=0,$ entonces $\text{ord}_px=\infty\ge \text{ord}_py$ y por tanto $$\text{ord}_p(x+y)=\text{ord}_py\ge \min\{\infty,\text{ord}_py\}=\min\{\text{ord}_px,\text{ord}_py\}.$$
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