Una sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica

Proporcionamos un ejemplo de sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica.

Enunciado
1) Demostrar que en $R=\mathbb{Q}$ con la norma $p$-ádica la sucesión $$x_n=1+p+p^2+\cdots +p^{n-1}$$ es de Cauchy.
2) Demostrar que es además convergente con límite $x=1/(1-p)\in\mathbb{Q}$

Solución
1) Tenemos $$\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p=\left\|p^n+p^{n+1}+\cdots+p^{n+k-1}\right\|_p$$ $$=\left\|p^n\left(1+p+p^2\cdots+p^{k-1}\right)\right\|_p.$$ Ahora bien, $\text{ord}_{p} \left[p^n\left(1+p+p^2\cdots+p^{k-1}\right)\right]=n$ y por tanto
$$\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p=p^{-n}<\epsilon\Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < p^n.$$ Eligiendo $n_0$ tal que $p^{n_0} > 1/\epsilon$, se verifica $\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p<\epsilon$ para todo $n\ge n_0$ y para todo $k$, luego $x_n$ es sucesión de Cauchy.

2) Dado que $x_n=(p^n-1)/(p-1)$:
$$\left\|x_{n}-x\right\|_p < \epsilon\Leftrightarrow\left\|\frac{p^n-1}{p-1}-\frac{1}{1-p}\right\|_p=\left\|\frac{p^n}{p-1}\right\|_p$$ $$=p^{-n}=\frac{1}{p^n} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < p^n,$$ y eligiendo $n_0$ tal que $p^{n_0} > 1/\epsilon,$ se verifica $\left\|x_{n}-x\right\|_p < \epsilon$ si $n\ge n_0$.

Nótese que $x_n\to +\infty$ si se considera en $\mathbb{Q}$ la norma del valor absoluto.

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