Ideal de las sucesiones nulas en el anillo de las sucesiones de Cauchy

Demostramos que las sucesiones nulas forman un ideal $I$ en el anillo de las sucesiones de Cauchy $\mathcal{C}$ sobre un anillo unitario $R$, lo cual definirá el anillo cociente $\mathcal{C}/I$.

Enunciado
Sea $R$ un anillo unitario con una norma $\left\|\;\right\|$ y $\mathcal{C}$ el anillo unitario de las sucesiones de Cauchy sobre $R$. Demostrar que el conjunto $I$ formado por las sucesiones nulas sobre $R$ (es decir, con límite $0$) es un ideal de $\mathcal{C}$.

Solución
Dado que toda sucesión convergente es de Cauchy, se verifica $I\subset R.$ Veamos que $I$ es ideal de $\mathcal{C}$.
(a) Sean $x=(x_n)$ e $y=(y_n)$ elementos de $I$. Como $(x_n)\to 0$ e $(y_n)\to 0$, para todo $\epsilon > 0$ existen números naturales $n_1$ y $n_2$ tales que $$n\ge n_1\Rightarrow \left\|x_n\right\| < \frac{\epsilon}{2},\quad n\ge n_2\Rightarrow \left\|y_n\right\| < \frac{\epsilon}{2}.$$ Si $n_0=\max\{n_1,n_2\}$ tenemos:$$n\ge n_0\Rightarrow \left\|x_n-y_n\right\|=\left\|x_n+(-1)y_n\right\|\le \left\|x_n\right\|+\left\|(-1)y_n\right\|$$ $$=\left\|x_n\right\|+\left\|(-1)\right\|\left\|y_n\right\|=\left\|x_n\right\|+1\left\|y_n\right\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$ Es decir, $(x_n-y_n)\to 0$ y por tanto, $x-y\in I.$

(b) Si $x=(x_n)\in \mathcal{C}$ e $y=(y_n)\in I$ entonces $\left\|x_n\right\|$ está acotada e $(y_n)\to 0$. Sea $K > 0$ tal que $\left\|x_n\right\| < K$ para todo $n$. Para todo $\epsilon > 0$ existe $n_0$ tal que $\left\|y_n\right\| < \epsilon /K$ si $n\ge n_0$. Entonces, $$n\ge n_0\Rightarrow \left\|x_ny_n\right\|=\left\|x_n\right\|\left\|y_n\right\| < K\cdot \frac{\epsilon}{K}=\epsilon$$ es decir, $(x_ny_n)\to 0$ con lo cual $xy\in I.$ Análogamente se demuestra que $yx\in I$. Concluimos que $I$ es ideal de $\mathcal{C}$.

Nota. Como consecuencia, queda automáticamente definido el anillo cociente $\mathcal{C}/I$.

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