Norma en el anillo cociente $\widehat{R}$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas

Construimos una norma en el anillo cociente $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas.

Enunciado
1) Sea $R$ anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|.$ Demostrar que $$\left|\left\|a\right\|- \left\|b\right\|\right |\le \left\|a-b\right\|,\quad \forall a,b\in R.$$ Es decir, que el valor absoluto de la diferencia de normas es menor o igual que la norma de la diferencia.
2) Sea $R$ anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|_{R}$ y sea $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ el anillo cociente de las sucesiones de Cauchy en $R$ sobre el ideal $I$ de las sucesiones nulas en $R$, y designemos por $\{x_n\}$ la clase a la que pertenece $(x_n)$. Es decir, $$\widehat{R}=\{\{x_n\}=(x_n)+I: (x_n)\text{ es sucesión de Cauchy en }R\}.$$ Demostrar que la aplicación $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}:\widehat{R}\to\mathbb{R}^+$ dada por $$\left\|\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_n\right\|_R$$ es una norma en el anillo unitario $\widehat{R}$.

Solución
1) Podemos escribir $$\left\|a\right\|=\left\|(a-b)+b\right\|\le \left\|a-b\right\|+\left\|b\right\|\Rightarrow \left\|a\right\|-\left\|b\right\|\le \left\|a-b\right\|.$$ Análogamente, $\left\|b\right\|-\left\|a\right\|\le \left\|b-a\right\|=\left\|a-b\right\|$, de lo cual se deduce $$\left|\left\|a\right\|- \left\|b\right\|\right |\le \left\|a-b\right\|.$$ 2) Veamos primeramente que $\lim \left\|x_n\right\|_R$ existe y es $\ge 0$. En efecto al ser $(x_n)$ de Cauchy, para todo $\epsilon > 0$ existe $n_0$ tal que si $m,n\ge n_0$ entonces $\left\|x_m-x_n\right\|_R < \epsilon$. Usando que el valor absoluto de la diferencia de normas es menor o igual que la norma de la diferencia: $$\left|\left\|x_m\right\|_R- \left\|x_n\right\|_R\right |\le \left\|x_m-x_n\right\|_R < \epsilon \text{ si }m,n\ge n_0.$$ Esto prueba que $\left\|x_n\right\|_R$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}$ (que es completo) con lo cual es convergente. Pero $\left\|x_n\right\|_R\ge 0$ para todo $n$, luego $\lim \left\|x_n\right\|_R\in\mathbb{R}^+$.

Veamos que $\left\|\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_n\right\|_R$ no depende del representante de la clase. Efectivamente, si $\{x_n\}=\{x’_n\}$ entonces $(x_n-x’_n)\in I$ es decir, $\lim \;(x_n-x’_n)=0$ con lo cual $$\forall \epsilon > 0\;\exists n_0:n\ge n_0\Rightarrow \left\|x_n-x’_n\right\|_R < \epsilon\Rightarrow \left|\left\|x_n\right\|_R- \left\|x'_n\right\|_R\right | < \epsilon.$$ Es decir, $\lim\;(\left\|x_n\right\|_R- \left\|x'_n\right\|_R)=0$ y al existir y ser finitos $\lim \left\|x_n\right\|_R$ y $\lim \left\|x'_n\right\|_R$ se concluye $$\lim \left\|x_n\right\|_R=\lim \left\|x'_n\right\|_R$$ y la aplicación $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}:\widehat{R}\to\mathbb{R}^+$ está bien definida.

Veamos ahora que $\left\|\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_n\right\|_R$ es una norma en $\widehat{R}$.
(1) Tenemos las siguientes equivalencias $$\left\|\{(x_n\}\right\|_{\widehat{R}}=0\Leftrightarrow \lim \left\|x_n\right\|_R=0\Leftrightarrow \lim x_n=0\Leftrightarrow (x_n)\in I$$ $$\Leftrightarrow (x_n)-(0)\in I\Leftrightarrow (x_n)+I=(0)+I\Leftrightarrow \{x_n\}=\{0\},$$ y $\{0\}$ es el cero de la suma en $\widehat{R}$.

(2) Para todo $\{x_n\},\{y_n\}\in \widehat{R}$: $$\left\|\{x_n\}\cdot\{y_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\left\|\{x_ny_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_ny_n\right\|_R$$ $$=\left(\lim \left\|x_n\right\|_R\right)\left(\lim \left\|y_n\right\|_R\right)=\left\|\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}\left\|\{y_n\}\right\|_{\widehat{R}}.$$ (3) Para todo $\{x_n\},\{y_n\}\in \widehat{R}$: $$\left\|\{x_n\}+\{y_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\left\|\{x_n+y_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_n+y_n\right\|_R\le \lim \left(\left\|x_n\right\|_R+\left\|y_n\right\|_R\right)$$ $$=\lim \left\|x_n\right\|_R+\lim \left\|y_n\right\|_R=\left\|\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}+\left\|\{y_n\}\right\|_{\widehat{R}}.$$

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