$R$ como subanillo de $\widehat{R}$

Demostramos que $R$ se puede considerar como un subanillo de $\widehat{R}$.

Enunciado
Sea $R$ anillo unitario y $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ el anillo cociente de las sucesiones de Cauchy de $R$ sobre el ideal $I$ de las sucesiones nulas de $R$. Sea la aplicación $\phi:R\to \widehat{R}$ dada por $\phi (a)=\overline{(a)}$ en donde $(a)$ representa la sucesión constante de término general $a$. Demostrar $\phi$ es un homomorfismo inyectivo de anillos.

Solución
Para todo $a,b\in R$ tenemos $$\phi (a+b)=\overline{(a)+(b)}=\overline{(a)}+\overline{(b)}=\phi (a)+\phi (b),$$ $$\phi (ab)=\overline{(a)(b)}=\overline{(a)}\;\overline{(b)}=\phi (a)\phi (b),$$ lo cual prueba que $\phi$ es homomorfismo de anillos. Además $\phi (1)=\overline{(1)}$ es decir, $\phi$ transforma la unidad de $R$ en la unidad de $\widehat{R}$. Por otra parte$$\ker \phi=\{a\in R:\phi (a)=\widehat{(0)}\}=\{a\in R:\widehat{(a)}=\widehat{(0)}\}$$ $$=\{a\in R:a-0\in I\}=\{I\}=\{0+I\}$$ es decir, el núcleo de $\phi$ se reduce al cero de $\widehat{R}$ lo cual prueba que $\phi$ es inyectivo.

Consecuencia. $R$ es isomorfo al subanillo $\text{Im }\phi$ de $\widehat{R}$ i.e. $R\cong \phi (R)$, con lo cual $R$ se puede considerar como un subanillo de $\widehat{R}$. Además, la norma $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}$ de $\widehat{R}$ extiende a la norma $\left\|\;\right\|_R$ de $R$ pues $\left\|\{a\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|a\right\|_R=\left\|a\right\|_R.$

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