Completación de todo anillo normado

Demostramos que para todo anillo normado $R$, el anillo $\widehat{R}$ es una completación de $R$. Es decir, toda sucesión de Cauchy en $\widehat{R}$ es convergente y además $R$ es denso en $\widehat{R}$. Si $R$ es cuerpo, también también $\widehat{R}$ es cuerpo.

Enunciado
1) Sea $(X,d)$ un espacio métrico cualquiera. Sea $(b_n)$ una sucesión de Cauchy en $X$ y $(a_n)$ una sucesión en $X$ tal que $d(a_n,b_n)<1/n$ para cada $n$ natural. Demostrar que
$(i)\;\; (a_n)$ es también sucesión de Cauchy en $X$.
$(ii)\; (a_n)$ converge a $p$ en $X$ si y sólo si, $(b_n)$ converge a $p$ en $X$.

2) Sea $R$ anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|_R$. Demostrar que $\widehat{R}$ es completo con la norma $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}$. Además, $R$ es denso en $\widehat{R}$.

3) Demostrar que si $R$ es cuerpo, también $\widehat{R}$ es cuerpo.

Solución
1) $(i)$ Por la desigualdad triangular, $$d(a_m,a_n)\le d(a_m,b_m)+d(b_m,a_n)$$ $$\le d(a_m,b_m)+d(b_m,b_n)+d(b_n,a_n).$$ Sea $\epsilon > 0$. Entonces, existe $n_1$ tal que $1/n_1 < \epsilon /3$ y por tanto $$n,m\ge n_1\Rightarrow d(a_m,a_n) < \epsilon/3+d(b_m,b_n)+ \epsilon /3.$$ Como $(b_n)$ es de Cauchy, $$\exists n_2\text{ tal que }n,m \ge n_2\Rightarrow d(b_m,b_n) < \epsilon/3.$$ Eligiendo $n_0=\max \{n_1,n_2\},$ $$m,n\ge n_0\Rightarrow d(a_m,a_n) < \epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon$$ lo cual prueba que $(a_n)$ es de Cauchy.
$(ii)$ Por la desigualdad triangular, $d(b_n,p)\le d(b_n,a_n)+d(a_n,p).$ Entonces, $$0\le \lim d(b_n,p)\le \lim d(b_n,a_n)+ \lim d(a_n,p).$$ Usando la hipótesis $d(a_n,b_n) < 1/n $: $$0 \le d(a_n,b_n) < 1/n\Rightarrow$$ $$0\le\lim d(a_n,b_n)\le \lim (1/n)=0\Rightarrow \lim d(a_n,b_n)=0$$ Si $\lim a_n=p$, tenemos $\lim d(a_n,p)=0$ y por tanto, $$0\le \lim d(b_n,p)\le 0\Rightarrow \lim d(b_n,p)\Rightarrow \lim b_n=p.$$ De manera análoga se demuestra que si $\lim b_n=p$ entones, $\lim a_n=p$.

2) Podemos considerar a $R$ como subanillo de $\widehat{R}$ identificando cada elemento $a$ de $R$ con el elemento $\{a\}$ de $\widehat{R}$. Veamos sucesivamente:

(a) Toda sucesión de Cauchy en $R$ tiene límite en $\widehat{R}$.
Sea $(x_m)$ una sucesión de Cauchy en $R$. Esta sucesión puede tener o no límite en $R$ pero seguro que lo tiene en $\widehat{R}$ a saber: $x=\{x_n\}$. Efectivamente, identificando $$x_1=\{x_1\},x_2=\{x_2\},\ldots ,x_m=\{x_m\},\ldots$$ podemos escribir $$\lim_{m\to +\infty}\left\|\{x_m\}-x\right\|_{\widehat{R}}=\lim_{m\to +\infty}\left\|\{x_m\}-\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}$$ $$=\lim_{m\to +\infty}\left\|\{x_m-x_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim_{m\to +\infty}\left(\lim_{n\to +\infty}\left\|x_m-x_n\right\|_R\right)$$ $$=\lim_{m\to +\infty\\n\to +\infty}\left\|x_m-x_n\right\|_R\underbrace{=}_{(x_n)\text{ de Cauchy en }R}0\Rightarrow (x_m)\to x=\{x_n\}.$$ (b) $R$ es denso en $\widehat{R}$.
Bastará demostrar que cada elemento de $\widehat{R}$ es el límite de una sucesión de $R$. Sea $x=\overline{(x_n)}$ un elemento arbitrario de $\widehat{R}$. Entonces, la sucesión $(x_m)$ es de Cauchy en $R$ y por (1), $x$ es el límite de la sucesión $(x_m)$ de $R$.

(c) $\widehat{R}$ es completo.
En efecto, sea $(\alpha_n)$ una sucesión de Cauchy en $\widehat{R}$. Cono $R$ es denso en $\widehat{R}$, para todo $n$ natural $$\exists x_n\in R\text{ tal que }\left\|x_n-\alpha_n\right\|_{\widehat{R}}<1/n.$$ Por el apartado 1), $(x_n)$ es también una sucesión de Cauchy y por (2), su límite es $x\in\widehat{R}$. También, por el apartado 1), $\lim \alpha_n=x$ y por tanto, $(\alpha_n)$ converge en $\widehat{R}$.

3) Si $\{x_n\}\in \widehat{R}$ es no nulo, tiene norma $k > 0$. Entonces, $$k=\left\|\{x_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_n\right\|_R > 0,$$ con lo cual existe $n_0$ tal que si $n \ge n_0$ entonces $\left\|x_n\right\|_R > k/2$ y por tanto $x_n\ne 0$ si $n\ge n_0$. Definimos la sucesión $(y_n)$ en $R$ dada por $y_n=1$ si $n < n_0$, $y_n=x_n^{-1}$ si $n\ge n_0$. La sucesión $(y_n)$ es de Cauchy y además $$\lim x_ny_n=1\Rightarrow (x_ny_n)-(1)\to 0\Rightarrow (1)=\{x_ny_n\}=\{x_n\}\{y_n\}.$$ Es decir, $\{x_n\}$ tiene inverso $\{y_n\}$ en $\widehat{R}$.

Nota. Si $\mathbb{Q}$ es el cuerpo de los números racionales con la norma del valor absoluto, entonces $\widehat{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ es la clásica y conocida construcción del cuerpo de los numeros reales con la topología usual.

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