Conservación de normas no arquimediadas por completación

Demostramos el principio de conservación de normas no arquimediadas por completación: si $\left\|\;\right\|_R$ es no arquimediana en el anillo $R$, también $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}$ es no arquimediana en el anillo $\widehat{R}$.

Enunciado
1) Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones convergentes de números reales. Demostrar que la sucesión $\max\{a_n,b_n\}$ es convergente con límite: $$\lim \left(\max\{a_n,b_n\}\right)=\max \{\lim a_n,\lim b_n\}.$$ 2) Si $\left\|\;\right\|_R$ es no arquimediana en el anillo $R$, demostrar que también $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}$ es no arquimediana en el anillo $\widehat{R}$.

Solución
1) Supongamos que $(a_n)\to A$ y $(b_n)\to B$. Sea $c_n=\max\{a_n,b_n\}$. Si $A > B$ llamemos $2d=A-B > 0$. Existen $n_1$ $n_2$ tales que $$n\ge n_1 \Rightarrow a_n > A-d,\quad n\ge n_2 \Rightarrow b_n < B+d.$$ Dado que $A-d=B+d$, si $n_0=\max\{n_1,n_2\}$ entonces $c_n=a_n$ si $n\ge n_0$ y por tanto, $\lim c_n=A.$ Si $B > A$, análogo razonamiento para demostrar que $\lim c_n=B.$
Sea por último $A=B$. Si la sucesión $(c_n)$ está formada por infinitos términos de $(a_n)$ e infinitos términos de $(b_n)$ entonces, $(c_n)$ está formada por dos subsucesiones que tienen el mismo límite $A=B$ y por tanto, $(c_n)\to A=B$. Si sólo aparece un número finito de términos de $(a_n)$ entonces, $(c_n)\to B$ y si sólo aparece un número finito de términos de $(b_n)$ entonces, $(c_n)\to A$, En cualquier caso, $(c_n)\to A=B$.

2) Sean $x=\{x_n\}, y=\{y_n\}\in \widehat{R}$. Entonces, $$\left\|x+y\right\|_{\widehat{R}}=\left\|\{x_n\}+\{y_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\left\|\{x_n+y_n\}\right\|_{\widehat{R}}=\lim \left\|x_n+y_n\right\|_R$$ $$\le \lim \left(\max\left\{\left\|x_n\right\|_R,\left\|y_n\right\|_R\right\}\right)\underbrace{=}_{\text{Apartado 1)}}\max \left\{\lim \left\|x_n\right\|_R,\lim \left\|y_n\right\|_R\right\}$$ $$=\max \left\{\left\|x\right\|_{\widehat{R}},\left\|y\right\|_{\widehat{R}}\right\}\Rightarrow \left\|\;\right\|_{\widehat{R}}\text{ es no arquimediana}.$$

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