Cuerpo $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y subanillo $\mathbb{Z}_p$

Definimos el conjunto $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y el conjunto de los enteros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$. Demostramos que $\mathbb{Z}_p$ es subanillo de $\mathbb{Q}_p$.

Enunciado
Sea $\mathbb{Q}$ el anillo de los números racionales con la norma $p$-ádica $\left\|\;\right\|_p$ y sea $\mathbb{Q}_p:=\widehat{\mathbb{Q}}$. Al anillo $\mathbb{Q}_p$ se le llama anillo de los números $p$-ádicos. La norma en $\mathbb{Q}_p$ también se la designará por $\left\|\;\right\|_p$.
Nota. Dado que si un anillo unitario $R$ es cuerpo también lo es $\widehat{R}$, se concluye que $\mathbb{Q}_p$ es cuerpo.
Se llama conjunto de los enteros $p$-ádicos al disco cerrado: $$\mathbb{Z}_p=\{\alpha\in\mathbb{Q}_p:\left\|\alpha\right\|_p\le 1\}.$$ Demostrar que el conjunto de los enteros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$ es un subanillo conmutativo y unitario de $\mathbb{Q}_p$.

Solución
Sean $\alpha,\beta \in \mathbb{Z}_p.$ Dado que la norma $\left\|\;\right\|_p$ en $\mathbb{Q}_p$ es no arquimediana, $$\begin{aligned} & \left\|\alpha +\beta\right\|_p\le \max\{\left\|\alpha\right\|_p,\left\|\beta\right\|_p\}\le 1\\
& \left\|\alpha \beta\right\|_p= \left\|\alpha\right\|_p\left\|\beta\right\|_p\le 1\end{aligned}$$ es decir, $\alpha +\beta$ y $\alpha \beta$ pertenecen a $\mathbb{Z}_p$ luego $\mathbb{Z}_p$ es subanillo de $\mathbb{Q}_p$. Es conmutativo por serlo $\mathbb{Q}_p$ y es unitario pues $\left\|1\right\|_p=1.$

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