Sucesiones eventualmente constantes con normas no arquimedianas

Demostramos una condición suficiente para la cual ciertas sucesiones en norma son eventualmente constante en un anillo unitario con norma no arquimediana.

Enunciado
Sea $R$ anillo unitario con una norma no arquimediana $\left\|\;\right\|$. Sea $(a_n)$ una sucesión de Cauchy en $R$ y $b\in R$ tal que $\lim a_n\ne b$. Demostrar que existe $n_0$ tal que $$m,n\ge n_0\Rightarrow \left\|a_m-b\right\|=\left\|a_n-b\right\|.$$ Es decir, la sucesión de números reales $(\left\|a_n-b\right\|)$ es eventualmente constante. En particular, si $(a_n)$ no es no nula, la sucesión $(\left\|a_n\right\|)$ es eventualmente constante.

Solución
Usando que el valor absoluto de la diferencia de normas es menor o igual que la norma de la diferencia $$\left|\left\|a_m-b\right\|-\left\|a_n-b\right\|\right|\le \left\|a_m-a_n\right\|.$$ Por tanto, la sucesión $(\left\|a_n-b\right\|)$ es de Cauchy en $\mathbb{R}$ y en consecuencia, convergente. Sea $l=\lim \left\|a_n-b\right\|$. Ha de ser $l > 0$ pues en caso contrario tendríamos $\lim a_n=b$ contra la hipótesis. Existe por tanto $n_1$ tal que $$n\ge n_1\Rightarrow \left\|a_n-b\right\| > \frac{l}{2}.\qquad (1)$$ Por ser $(a_n)$ de Cauchy, existe $n_2$ tal que $$m,n\ge n_2\Rightarrow \left\|a_m-a_n\right\| < \frac{l}{2}.\qquad (2)$$ Llamando $n_0=\max \{n_1,n_2\}$ y para $m,n\ge n_0$ $$\left\|a_m-b\right\|=\left\|(a_n-b)+(a_m-a_n)\right\|$$ $$\le \max \{\left\|a_n-b\right\|,\left\|a_m-a_n\right\|\}\underbrace{=}_{\text{Por }(1)\text{ y }(2)}\left\|a_n-b\right\|.$$

Esta entrada fue publicada en Miscelánea matemática, Teoría p-ádica. Guarda el enlace permanente.