Teorema de compactificación de Alexandrov

Demostramos el teorema de compactificación de Alexandrov por un único punto y proporcionamos un ejemplo de aplicación.

    Enunciado
    Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Sea $X_\infty:=X\cup \{\infty\}$, en donde $\infty$ representa cualquier elemento tal que $\infty\notin X$ y al que llamamos punto del infinito. Consideremos la clase $T_{\infty}$ de subconjuntos de $X_\infty$: $$T_\infty=T\cup\{A\cup\{\infty\}:A\subset X\text{ y }X-A\text{ es cerrado y compacto}\}$$ es decir, $T_\infty$ está formada por los elementos de $T$ y los complementos en $X_\infty$ de los subconjuntos cerrados y compactos de $X$. Se trata de demostrar el teorema de compactificación de Alexandrov por un único punto, es decir que $(X_\infty,T_\infty)$ es un espacio topológico compacto.
  1. Demostrar que $T_\infty$ es una topología en $X_\infty.$
  2. Demostrar que $T$ es la topología $T_\infty|_ X$ inducida por $T_\infty$ sobre $X$.
  3. Demostrar que $(X_\infty,T_\infty)$ es un espacio compacto, lo cual probará el teorema de Alexandrov.
  4. Demostrar que si $X$ no es compacto entonces $X$ es denso en $X_\infty$.
  5. Demostrar el siguiente lema:
    Sea $Y$ un espacio compacto, $Z$ un espacio de Haussdorf y $f:Y\to Z$ biyectiva y continua. Entonces, $f$ es homeomorfismo.
  6. Aplicación. Sea $X=(0,1)$ y $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$ ambos con la topologías inducidas por la usuales de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ respectivamente y llamemos $P=(1,0)\in S^1.$ Demostrar que $$f:X_\infty \to S^1,\quad f(t)=\begin{cases} (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t) & \text{si}& t\in (0,1)\\P & \text{si}& t=\infty\end{cases}$$ es un homeomorfismo. Es decir, topológicamente $X_\infty=S^1.$
    Solución
  1. Veamos que $T_p$ cumple los tres axiomas de topología.
    (a) $\emptyset\in T_\infty$ pues $\emptyset\in T.$ Por otra parte, $X_\infty\in T_\infty$ pues $X_\infty=X\cup\{\infty\}$ y $X-X=\emptyset$ es cerrado y compacto.
    (b) Sean $V_1,V_2\in T_\infty$ y llamemos $V=V_1\cap V_2$. Si $\infty\in V$ entonces, $$V_1=A_1\cup\{\infty\},\; V_2=A_2\cup\{\infty\}\text{ con } X-A_1\text{ y }X-A_2\text{ cerrados y compactos.}$$ Entonces, $V=A\cup\{\infty\}$ con $A=A_1\cap A_2$. Tenemos $$X-A=X-(A_1\cap A_2)=(X-A_1)\cup (X-A_2).$$ La última unión es un conjunto cerrado y compacto por ser unión de dos cerrados y compactos, por tanto $V=V_1\cap V_2\in T_\infty$.
    Si $\infty\notin V$ entonces, o bien $\infty$ no pertenece ni a $V_1$ ni a $V_2$, o bien pertenece a uno de ellos pero no al otro. En el primer caso $V_1,V_2\in T$, luego $V\in T$ y por tanto $V\in T_\infty$.
    Supongamos ahora y sin pérdida de generalidad que $\infty\in V_1$, $\infty\notin V_2$. Entonces $V_1=A_1\cup\{\infty\}$ con $X-A_1$ cerrado y acotado, y $V_2\in T$. Entonces, $$V=V_1\cap V_2=\left(A_1\cup\{\infty\}\right)\cap V_2=\left(A_1\cap V_2\right)\cup (\underbrace{\{\infty\}\cap V_2}_{=\emptyset})=A_1\cap V_2.$$ Pero $A_1\in T$ al ser $X-A_1$ cerrado en $X$, y por tanto $V\in T$ lo cual implica $V\in T_\infty$.
    (c) Sea $G_i\in T_\infty$ para todo $i\in I$ y llamemos $G=\bigcup_{i\in I} G_i$. Analicemos el caso en el que $\infty\notin G$: $$\infty\notin G \Rightarrow \infty\notin G_i\;\forall i\in I\Rightarrow G_i\in T\;\forall i\in I\Rightarrow G=\bigcup_{i\in I} G_i\in T\Rightarrow G\in T_\infty.$$ Si $\infty\in G$, podemos descomponer el subconjunto de índices $I$ en la forma $I=I_1\sqcup I_2$ en donde $\infty\notin G_i$ si $i\in I_1$ y $\infty\in G_i$ si $i\in I_2$. En el segundo caso, podemos escribir $G_i=A_i\cup \{\infty\}$ con $A_i\subset X$ y $X-A_i$ cerrado y compacto. Podemos escribir $$G=A\cup \{\infty\}\text{ con }A=\left(\cup_{i\in I_1}G_i\right)\cup \left(\cup_{i\in I_2}A_i\right).$$ Aplicando las leyes de Morgan, $$X-A=X-\left[\left(\cup_{i\in I_1}G_i\right)\cup \left(\cup_{i\in I_2}A_i\right)\right]$$ $$=\left[\cap_{i\in I_1}(X-G_i)\right]\cap \left[\cap_{i\in I_2}(X-A_i\right].$$ Entonces, $X-A$ es cerrado en $X$ y está contenido en $X-A_k$ ($k\in I_2$) que es compacto, con lo cual $X-A$ también es compacto y $G\in T_\infty$. Queda demostrado que $T_\infty$ es topología en $X_\infty$.
  2. Efectivamente, por definición de topología inducida, $$T_\infty|_ X=\{G\cap X:G\in T_\infty\}$$ $$=\{G\cap X:G\in T \vee G=A\cup\{\infty\}\text{ con }X-A\text{ cerrado y compacto}\}$$ $$=\{G\cap X:G\in T\}\cup \{G\cap X:G=A\cup\{\infty\}\text{ con }X-A\text{ cerrado y compacto}\}$$ $$=T\cup \{A:X-A\text{ es compacto y }A \text{ es abierto}\}=T.$$
  3. Sea $\mathcal{G}=\{G_i:i\in I\}$ un recubrimiento abierto de $X_\infty$. Existe $i_0\in I$ tal que $\infty\in G_{i_0}$. Ahora bien, $X-G_{i_0}$ es un conjunto compacto y está recubierto por $\mathcal{G}$, luego existe un número finito de elementos $G_{i_1},\ldots,G_{i_m}\in \mathcal{G}$ cuya unión contiene a $X-G_{i_0}$. Entonces, $$\mathcal{G}_1=\{G_{i_0},G_{i_1},\ldots,G_{i_m}\}$$ es un subrecubrimiento de $\mathcal{G}$ que contiene a $X_\infty$, con lo cual $X_\infty$ es compacto. Queda demostrado el teorema de compactificación de Alexandrov.
  4. Tenemos que demostrar que $\overline{X}=X_\infty$. Razonemos por reducción al absurdo: $$\overline{X}\ne X_\infty\Rightarrow \overline{X}=X \Rightarrow X\text{ es cerrado en }X_\infty\Rightarrow X_\infty-X=\{\infty\}\text{ es abierto en }X_\infty.$$ Dado que $\{\infty\}=\emptyset \cup \{\infty\}$, ha de ser $X-\emptyset=X$ cerrado y compacto, en contradicción con la hipótesis.
  5. Al ser $f$ continua, $f^{-1}$ transforma conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Es suficiente demostrar que $f$ transforma conjuntos cerrados en conjuntos cerrados. Pero si $F$ es cerrado en $Y$ entonces es compacto y por tanto $f(F)$ es compacto. Dado que $Z$ es Hausdorff, $f(F)$ es cerrado en $Z$.
  6. Si $t$ recorre el intervalo $(0,1)$ entonces, $2\pi t$ recorre el intervalo $(0,2\pi)$ con lo cual $ (\cos 2\pi t,\sin 2\pi t)$ recorre inyectivamente todos los puntos de $S^1$ salvo $P=(1,0)$. Esto implica que $f$ es biyectiva. Claramente $f$ es continua si $t\ne \infty$. Para demostrar la continuidad en $P=(1,0)$, sea $V$ un entorno de $P$. Este entorno ha de contener un conjunto de la forma $$W=\{(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t):-\epsilon < t < \epsilon\}\text{ para algún }\epsilon > 0.$$ Ahora bien, $f^{-1}(V)\supset f^{-1}(W)=X_\infty – [\epsilon, 1-\epsilon]$ y éste último conjunto es abierto en $X_\infty$ al ser $[\epsilon, 1-\epsilon]$ cerrado y compacto. Es decir, $f^{-1}(V)$ es entorno de $\infty$, lo cual completa la demostración de la continuidad de $f$. Ahora, basta aplicar el lema del apartado anterior.
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