Fórmula de Bayes

Demostramos la fórmula de Bayes y proporcionamos un ejemplo de aplicación.

    Enunciado
    Sea $(E,\mathscr{B},p)$ un espacio probabilístico, $B,A_1,A_2,\ldots,A_n\in \mathscr{B}$ con probabilidades no nulas, $A_1,A_2,\ldots,A_n$ mutuamente excluyentes y que forman un sistema exhaustivo, es decir, $$A_i\cap A_j=\emptyset\;\;\forall i\ne j,\quad\text{ y }\quad A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n=E.$$
  1. Demostrar el teorema de la probabilidad total, es decir $$p(B)=\sum_{i=1}^np(A_i)\;p(B\mid A_i).$$
  2. Demostrar la fórmula de Bayes, es decir que para todo $i=1,\ldots,n$: $$p(A_i\mid B)=\dfrac{p(A_i)\;p(B\mid A_i)}{\sum_{j=1}^np(A_j)\;p(B\mid A_j)}.$$
  3. Aplicación. Tenemos tres urnas con las siguientes composiciones: $A_1$ tres bolas blancas y una negra, $A_2$ dos blancas y dos negras y $A_3$ una blanca tres negras. Se extrae una bola al azar de una de las urnas y resulta ser blanca. Determinar la probabilidad de que proceda de la urna $A_3$.
    Solución
  1. Podemos escribir $$p(B)=p(B\cap E)=p\left(B\cap (\cup_iA_i) \right)=P\left(\cup_i(B\cap A_i)\right).$$ Dado que $A_i\cap A_j=\emptyset$ para $i\ne j$, También $(B\cap A_i)\cap (B\cap A_j)=\emptyset$ y por tanto, $$p(B)=\sum_{i=1}^np(B\cap A_i)=\sum_{i=1}^np(A_i)\;p(B\mid A_i).$$
  2. Por definición de probabilidad condicionada: $$p(A_i\cap B)=p(A_i)\;p(B\mid A_i)=p(B)\;p(A_i\mid B).$$ Usando el teorema de la probabilidad total: $$p(A_i\mid B)=\dfrac{p(A_i)\;p(B\mid A_i)}{p(B)}=\dfrac{p(A_i)\;p(B\mid A_i)}{\sum_{j=1}^np(A_j)\;p(B\mid A_j)}.$$
  3. Llamemos $A_1,A_2,A_3$ a los sucesos elegir la urna $A_1,A_2,A_3$ respectivamente y $B$ al suceso la bola extraída es blanca. Tenemos $$P(A_1)=p(A_2)=p(A_3)=\dfrac{1}{3},$$ $$p(B\mid A_1)=\dfrac{3}{4},\quad p(B\mid A_2)=\dfrac{2}{4},\quad p(B\mid A_3)=\dfrac{1}{4}.$$ Aplicando la fórmula de Bayes, $$P(A_3\mid B)=\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{1}{6}.$$
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