Cambio admisible de parámetro

Definimos el concepto de cambio admisible de parámetro, damos ejemplos y demostramos algunas de sus propiedades.

    Enunciado
    Sea $I_u$ un intervalo de la recta real y $t:I_u\to\mathbb{R}$ una aplicación. Se dice que la función $t=t(u)$ es un cambio admisible de parámetro sii $$(1)\; t\in\mathcal{C}^1(I_u).\quad (2)\;\dfrac{dt}{du}\ne 0\;\;\forall u\in I_u.$$
  1. Demostrar que las siguientes aplicaciones son cambios admisibles de parámetro $$\begin{aligned}&(a)\;t=3u^5+10u^3+15u+1 \text{ en }I_u=\mathbb{R}.\\
    & (b)\; t=\tan \dfrac{\pi u}{2}\text{ en }I_u=[0,1).
    \end{aligned}$$
  2. Demostrar que si $t$ es cambio admisible de parámetro en $I_u$ entonces, $t$ es en $I_u$ estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
  3. Demostrar que si $t$ es cambio admisible de parámetro en $I_u$ entonces, $I_t:=t(I_u)$ es un intervalo de la recta real y que $t:I_u\to I_t$ es biyectiva.
  4. Demostrar que la inversa de un cambio admisible de parámetro también es cambio admisible de parámetro.
    Solución
  1. $(a)\;$ Tenemos $dt/du=15u^4+30u^2+15\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$. Por otra parte $$\frac{dt}{du}=15u^4+30u^2+15=15(u^4+2u^2+1)=(u^2+1)^2\ne 0\;\;\forall u\in\mathbb{R}.$$ $(b)\;$ Si $u$ recorre el intervalo $[0,1)$ entonces, $\pi u/2$ recorre el intervalo $[0,\pi/2)$ y en éste último intervalo el coseno no se anula, en consecuencia, $$\dfrac{dt}{du}=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{1}{\cos^2 \dfrac{\pi u}{2}}\in\mathcal{C}^1([0,1))\;\text{ y }\;\dfrac{dt}{du}\ne 0\;\;\forall u\in [0,1).$$
  2. Dado que $dt/du$ es no nula y continua en $I_u$, por el teorema de Bolzano no puede tomar $dt/du$ valores de distinto signo, luego $dt/du > 0$ en $I_u$ con lo cual $t$ es estrictamente creciente, o bien $dt/du < 0$ en $I_u$ con lo cual $t$ es estrictamente decreciente.
  3. Como $I_u$ es intervalo de la recta real, es conjunto conexo. Al ser $t$ continua, $I_t=t(I_u)$ es también conexo y por tanto es un intervalo de la recta real. Al ser $t$ estrictamente creciente o estrictamente decreciente, es inyectiva. Es sobreyectiva por construcción.
  4. Si $t:I_u\to I_t$ es cambio admisible de parámetro y $u:I_t\to I_u$ es su función inversa, entonces $$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{\underbrace{dt/du}_{\ne 0}}\ne 0.$$ Además, al ser $dt/du$ continua, también lo es $du/dt$.
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