Curvas regulares

Definimos el concepto de curva regular y proporcionamos un ejemplo.

    Enunciado
    Se dice que la representación paramétrica regular $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)$, $t\in I_t$ es equivalente a la representacion paramétrica regular $\mathbf{x}=\mathbf{x}^*(u)$, $u\in I_u$ sii existe un cambio admisible de parámetro $t=t(u)$ en $I_u$ tal que $t(I_u)=I_t$ y además $$\mathbf{x}[t(u)]=\mathbf{x}^*(u)\quad \forall u\in I_u.$$
  1. Demostrar que la relación definida anteriormente es una relación de equivalencia sobre el conjunto de las representaciones paramétricas regulares.
  2. Se llama curva regular a cada una de las clases de equivalencia de la relación anterior. Demostrar que las dos siguientes representaciones paramétricas regulares definen la misma curva regular. $$\mathbf{x}:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1=t\\& x_2=\sin t\\& x_3=e^t \end{aligned}\end{matrix}\right.\;\; (t\in\mathbb{R}),\quad \mathbf{x}^*:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x_1=\log t\\& x_2=\sin \log t\\& x_3=t \end{aligned}\end{matrix}\right.\;\; (t\in (0,+\infty).$$
    Solución
  1. Reflexiva. Sea la representación paramétrica regular $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)$, $t\in I_t$ y consideremos la aplicación identidad $t:I_u=I_t\to I_t$, $t=u$. Claramente $t=u$ es un cambio admisible de parámetro y además $$\mathbf{x}[t(u)]=\mathbf{x}(u)\quad \forall u\in I_u.$$ Simétrica. Si la representación paramétrica regular $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)$, $t\in I_t$ equivalente a la representación paramétrica regular $\mathbf{x}=\mathbf{x}^*(u)$, $u\in I_u$, existe un cambio admisible de parámetro $t:I_u\to I_t$, $t=t(u)$ tal que $$\mathbf{x}[t(u)]=\mathbf{x}^*(u)\quad \forall u\in I_u.$$ Sabemos que la aplicación inversa $u:I_t\to I_u$, $u=u(t)$ es un cambio admisible de parámetro y además $$\mathbf{x}^*[u(t)]=\mathbf{x}^*(u)=\mathbf{x}[t(u)]=\mathbf{x}(t)\quad \forall t\in I_t,$$ luego $\mathbf{x}=\mathbf{x}^*(u)$, $u\in I_u$ es equivalente a $\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)$, $t\in I_t$.
    Transitiva. Sean las representaciones regulares $$R_1:\left \{ \begin{matrix} \mathbf{x}=\mathbf{x}(t) \\t\in I_t\end{matrix}\right.\quad R_2:\left \{ \begin{matrix} \mathbf{x}=\mathbf{x}^*(u) \\u\in I_u\end{matrix}\right.\quad R_3:\left \{ \begin{matrix} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{**}(\theta) \\\theta \in I_{\theta}.\end{matrix}\right.$$ Si $R_1$ es equivalente a $R_2$ y $R_2$ a $R_3$, existen cambios admisibles de parámetro $t:I_u\to I_t$, $t=t(u)$ y $u:I_{\theta}\to I_u$, $u=u(\theta)$ tales que $$\mathbf{x}[t(u)]=\mathbf{x}^*(u)\;\; \forall u\in I_u,\quad \mathbf{x}^*[u(\theta)]=\mathbf{x}^{**}(\theta)\;\; \forall \theta\in I_\theta.$$ Consideremos la composición de los cambios admisibles de parámetro $$t\circ u: I_\theta\to I_t,\quad \theta\to t=t[u(\theta)]$$ Aplicando la regla de la cadena, $$\dfrac{dt}{d\theta}=\underbrace{\dfrac{dt}{du}}_{\ne 0}\cdot \underbrace{\dfrac{du}{d\theta}}_{\ne 0}\Rightarrow \dfrac{dt}{d\theta}\ne 0\text{ en }I_\theta,$$ y $dt/du$, $du/d\theta$ son continuas, en consecuencia, $t\circ u:I_\theta\to I_t$ es cambio admisible de parámetro y además $$\mathbf{x}[(t\circ u)(\theta)]=\mathbf{x}[t(u(\theta))]=\mathbf{x}^*[u(\theta)]=\mathbf{x}^{**}(\theta)\;\;\forall \theta\in I_\theta$$ por tanto, $R_1$ es equivalente a $R_3$.
  2. Consideremos la aplicación $t:(0.+\infty)\to \mathbb{R}$ dada por $t=\log u$. Entonces, $dt/du=1/u$ es continua y no nula para todo $u\in (0,+\infty)$, con lo cual es un cambio admisible de parámetro. Por otra parte $$\mathbf{x}[t(u)]=\mathbf{x}(\log u)=(\log u,\sin \log u, u)=\mathbf{x}^*(u)\quad \forall u\in (0,+\infty),$$ lo cual prueba que definen la misma curva regular.
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