Caracterización de $a\ker f$ para un homomorfismo de grupos

Caracterizamos $a\ker f$ siendo $f$ un homomorfismo de grupos.

Enunciado
Sea $f:G\to G’$ un homomorfismo de grupos y sea $a\in G$. Demostrar que $$a\ker f=\{g\in G: f(g)=f(a)\}$$
Solución
Denotemos por $e’$ al neutro de $G’$ y veamos el doble contenido $$\subset)\quad x\in a\ker f\Rightarrow g=ah\text{ con }h\in \ker f$$ $$\Rightarrow f(g)=f(ah)=f(a)f(h)=f(a)e´=f(a).$$ $$\supset)\quad f(g)=f(a)\Rightarrow \left[f(a)\right]^{-1}f(g)=e’\Rightarrow f(a^{-1}g)=e’\Rightarrow a^{-1}g\in \ker f$$ $$\Rightarrow a^{-1}g=h\text{ con }h\in \ker f\Rightarrow g=ah\text{ con }h\in \ker f\Rightarrow g\in a \ker f.$$ Concluimos pues que $$a\ker f=\{g\in G: f(g)=f(a)\}$$

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