Inverso de un elemento en $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $

Hallamos el inverso de un elemento en el cuerpo $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $

Enunciado
Hallar el inverso del elemento $3+2x+\langle x^2+x+1 \rangle $ de $\mathbb{Q}/\langle x^2+x+1 \rangle $

Solución
Tenemos: $$\begin{aligned}&\quad\; \left(3+2x+\langle x^2+x+1 \rangle \right)\left(ax+b+\langle x^2+x+1 \rangle \right)=1+\langle x^2+x+1 \rangle\\
& \Leftrightarrow(3+2x)(ax+b)+\langle x^2+x+1 \rangle =1+\langle x^2+x+1 \rangle\\&\Leftrightarrow 2ax^2+(3a+2b)x+3b+\langle x^2+x+1\rangle=1+\langle x^2+x+1 \rangle.\end{aligned}$$ El resto de la división de $2ax^2+(3a+2b)x+3b$ entre $x^2+x+1$ es $(a+2b)x+3b-2a$, por tanto $$\begin{aligned}&2ax^2+(3a+2b)x+3b+\langle x^2+x+1\rangle=\\&(a+2b)x+3b-2a+\langle x^2+x+1\rangle=1+\langle x^2+x+1 \rangle.\end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{cases} a+2b=0 \\3b-2a=1\end{cases}\Rightarrow{a=-2/7,\; b=1/7}.$$ Por tanto, $$\left[\left(3+2x+\langle x^2+x+1\right) \rangle\right]^{-1}=-\displaystyle\frac{2}{7}x+\displaystyle\frac{1}{7}+\langle x^2+x+1\rangle.$$

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