Límite de una sucesión de conjuntos

Definimos el concepto de límite de una sucesión de conjuntos y estudiamos algunas de sus propiedades.

    Enunciado
    Sea $A_1,A_2,A_3,\ldots$ una sucesión de conjuntos contenidos en un conjunto universal $U$. Se definen: $$\liminf A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k,\quad \limsup A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k.$$

  1. Demostrar que $$\left(\liminf A_n\right)^c = \limsup A_n^c,\quad \left(\limsup A_n\right)^c = \liminf A_n^c.$$
  2. Si para una sucesión de conjuntos $\{A_n\}$ se verifica $\liminf A_n=\limsup A_n$, se define $$\lim A_n=\liminf A_n=\limsup A_n.$$ Demostrar que $$\begin{aligned}&A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots\Rightarrow \lim_{n\to \infty}A_n= \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n,\\
    &A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots\Rightarrow \lim_{n\to \infty}A_n= \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.
    \end{aligned}$$
  3. Determinar $\displaystyle \lim A_n,$ siendo $A_n=\left[0, \dfrac{n}{n+1}\right).$
  4. Demostrar que:$$\begin{aligned}
    &(a)\;\limsup A_n = \left\{x\in U\,:\,\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_n}(x)=\infty\right\},\\
    &(b)\,\liminf A_n = \left\{x\in U\,:\,\sum_{n=1}^{\infty} \chi_{A_n^c}(x) < \infty\right\}. \end{aligned}$$ en donde $\chi_M$ representa la función característica de $M\subset U$.
  5. Demostrar que para cualquier sucesión $A_1,A_2,A_3,\ldots$ se verifica $$\liminf A_n\subset \limsup A_n.$$
    Solución
  1. Usando las leyes de Morgan $$\left(\liminf A_n\right)^c =\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k\right)^c=\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k\right)^c$$ $$=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k^c=\limsup A_n^c.$$ Análogamente $$\left(\limsup A_n\right)^c =\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k\right)^c=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k\right)^c$$ $$=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c=\liminf A_n^c.$$
  2. Si $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots$ entonces, $\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k=A_n$ y por tanto $\liminf A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.$ Si $A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots$ entonces, $\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k=A_n$ y por tanto $\limsup A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.$

    Por otra parte si $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots$ entonces $A_1^c\supset A_2^c\supset A_3^c\supset \ldots$, con lo cual $$\limsup A_n^c=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n^c=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\underbrace{=}_{\text{apartado } 1}(\limsup A_n)^c\Rightarrow \limsup A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$$ en consecuencia $$A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots\Rightarrow \lim A_n=\liminf A_n=\limsup A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.$$ De igual manera si $A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots$ entonces $A_1^c\subset A_2^c\subset A_3^c\subset \ldots$, con lo cual $$\liminf A_n^c=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c=\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\right)^c\underbrace{=}_{\text{apartado } 1}(\liminf A_n)^c\Rightarrow \liminf A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$$ en consecuencia $$A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots\Rightarrow\lim A_n=\liminf A_n=\limsup A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.$$

  3. Para todo $n$ natural tenemos $$A_n=\left[0,\frac{n}{n+1}\right),\quad A_{n+1}=\left[0,\frac{n+1}{n+2}\right).$$ Por otra parte, $$\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$$ $$\Rightarrow \frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2} \Rightarrow A_n\subset A_{n+1}\;\forall n=1,2,3,\ldots$$ y por el apartado anterior, $\lim A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$. Dado que $n/(n+1) < 1$ para todo $n$, se verifica $A_n\subset [0,1)$ luego $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\subset [0,1)$. Sea ahora $x\in[0,1)$. Como $\lim n/(n+1)$ $=1$, existe $n_0$ tal que $n_0/(n_0+1) > x$ lo cual implica que $x\in A_{n_0}\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.$ Concluimos que $\lim A_n=[0,1)$.
  4. $(a)$ Tenemos $$x\in \limsup A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k\Rightarrow \forall n\;\exists k_n:x\in A_{k_n}$$ $$\Rightarrow \forall n\;\exists k_n: \chi_{A_{k_n}}(x)=1\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \chi_{A_n}(x)=\infty.$$ Recíprocamente, si $\sum_{n=1}^\infty \chi_{A_n}(x)=\infty$ existe una sucesión $k_1,k_2,k_3,\ldots$ tal que $\chi_{A_{k_n}}(x)=1$ o bien $x\in A_{n_k}$ con lo cual para todo $n$, $x\in \bigcup_{k\ge n}A_k$ y por ende $x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k.$
    $(b)$ Tenemos $$x\in \liminf A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k\Leftrightarrow \exists n_0:x\in \bigcap_{k=n_0}^{\infty} A_k\Leftrightarrow \exists n_0:x\notin \left(\bigcap_{k=n_0}^{\infty} A_k\right)^c$$ $$=\bigcup_{k=n_0}^{\infty} A_k^c\Leftrightarrow x\notin A_k^c\;\forall k\ge n_0\Leftrightarrow \exists n_0:\chi_{A_k^c}(x)=0\;\forall k\ge n_0\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\chi_{A_n^c}(x) < \infty.$$
  5. Según el apartado anterior, el límite superior es el conjunto de los elementos que pertenecen a infinitos conjuntos de la sucesión, y el límite inferior es el conjunto de los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de la sucesión salvo a lo sumo a un número finito. De aquí se deduce trivialmente que $\liminf A_n\subset \limsup A_n.$
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