Ecuaciones paramétricas de la intersección de una esfera y un plano

Usando el teorema espectral, determinamos unas ecuaciones paramétricas de la intersección de una esfera y un plano.

Enunciado
Determinar unas ecuaciones paramétricas de la curva intersección de la esfera $E:x^2+y^2+z^2=4$ y el plano $\pi: x+y+z=0$.

Solución
Sustituyendo $z=-x-y$ en la ecuación de la esfera obtenemos $$x^2+y^2+(-x-y)^2=4, \text{ o bien }2x^2+2xy+2y^2=4.$$ Podemos escribir la cónica anterior en la forma $$2x^2+2xy+2y^2-4=\left(x,y\right)\underbrace{\begin{pmatrix}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{pmatrix}}_{M}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}-4=0.$$ Apliquemos a $M$ el teorema espectral. Valores propios $$\begin{vmatrix}{2-\lambda}&{1}\\{1}&{2-\lambda}\end{vmatrix}=\lambda^2-4\lambda+3=0\Leftrightarrow \lambda=3\vee\lambda =1.$$ Bases de los subespacios propios $$V_3\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} -x+y=0\\ x-y=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.,\quad B_{V_1}=\{(1,1)\}$$ $$V_1\equiv\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} x-y=0\\ x-y=0 \end{aligned}\end{matrix}\right.,\quad B_{V_4}=\{(-1,1)\}$$ Una base ortonormal y de vectores propios de $\mathbb{R}^2$ es por tanto $$B’=\{e_1,e_2\}\text{ con }e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1),\;e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1).$$ La matriz de $P$ de cambio de la base canónica $B=\{(1,0),(0,1)\}$ a la $B’$ es $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{1}\end{pmatrix}\;\; \text{(ortogonal)},$$ y la expresión del cambio es $$\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix} x’\\ y’\end{pmatrix},\text{ o bien }\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} &x=\frac{1}{\sqrt{2}}(x’-y’)\\& y=\frac{1}{\sqrt{2}}(x’+y’).\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Entonces $$2x^2+2xy+2y^2-4=\left(x,y\right)M\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}-4$$ $$=(x’,y’)P^tMP\begin{pmatrix} x’\\ y’\end{pmatrix}-4=(x’,y’)\begin{pmatrix}{3}&{0}\\{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x’\\ y’\end{pmatrix}-4$$ $$=3(x’)^2+(y’)^2-4=0.$$ La ecuación de la cónica en los nuevos ejes $x’y'$ es por tanto $$\dfrac{(x’)^2}{(2/\sqrt{3})^2}+\dfrac{(y’)^2}{2^2}=1.$$ Las ecuaciones paramétricas de la elipse son por tanto $$\left \{ \begin{matrix}x’=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos t\\y’=2\sin t\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi].$$ Sustituyendo $x=\frac{1}{\sqrt{2}}(x’-y’)$, $y=\frac{1}{\sqrt{2}}(x’+y’)$: $$\left \{ \begin{matrix}x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos t-2\sin t\right)\\y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\cos t+2\sin t\right)\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi].$$ Como $z=-x-y$, unas ecuaciones paramétricas de la intersección $E\cap \pi$ son $$E\cap \pi :\left \{ \begin{matrix}x=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos t-\sin t\right)\\y=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos t+\sin t\right)\\
z=-\dfrac{4}{\sqrt{6}}\cos t\end{matrix}\right.\quad t\in [0,2\pi].$$

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