Cuerpo primo

Definimos el concepto de cuerpo primo y demostramos que todo cuerpo $K$ contiene una copia de un cuerpo primo, que es a su vez el menor subcuerpo de $K$.

    Enunciado
    Los cuerpos $\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_5,\ldots, \mathbb{Q}$ se denominan cuerpos primos.
  1. Demostrar que todo subcuerpo de un cuerpo primo coincide con él mismo.
  2. Demostrar que todo cuerpo contiene a un subcuerpo isomorfo a un cuerpo primo. Es decir, todo cuerpo contiene a un cuerpo mínimo que es una copia de $\mathbb{Q}$ o de $\mathbb{Z}_p$ para algún $p$ primo.
    Solución
  1. Si $L$ es subcuerpo de $\mathbb{Q}$ entonces, $1\in L$ y por tanto $n\cdot 1=n\in L$ para todo entero $n$. Es decir $\mathbb {Z}\subset L.$ Como $L$ es cuerpo, si $0\ne m\in\mathbb{Z}$ entonces $1/m\in L$ y por ende $n\cdot (1/m)=n/m\in L$. Es decir $L\supset \mathbb{Q}$ y por tanto $L=\mathbb{Q}$.

    Si $L$ es subcuerpo de $\mathbb{Z}_p$ con $p$ primo, entonces $1\in L$ y por tanto $$r\cdot 1=\underbrace{1+1+\cdots +1}_{r)}\in L\quad \forall r=0,1,2,\ldots p-1.$$ Es decir, $L\supset \mathbb{Z}_p$ luego $L=\mathbb{Z}_p$.

  2. Sea $K$ un cuerpo y consideremos la aplicación $$f:\mathbb{Z}\to K,\quad f(n)=n\cdot1_K=1_K+1_K+\cdots +1_K\quad (n\text{ veces}).$$ Fácilmente verificamos que $f$ es un homomorfismo de anillos y por tanto $\ker f$ es un ideal de $\mathbb{Z}$.

    Primer caso: $\ker f=\{0\}$. En este caso, $n\cdot 1_K=0$ implica $n=0$ luego cada entero no nulo se transforma en un elemento invertible de $K$. Consideremos la aplicación $$g:\mathbb{Q}\to K,\quad g\left(\dfrac{m}{n}\right)=\left(m\cdot1_K\right)\left(n\cdot1_K\right)^{-1}$$ Esta aplicación es un isomorfismo de cuerpos con lo cual $\mathbb{Q}\cong \operatorname{Im}f\subset K$ y en consecuencia $K$ contiene una copia de $\mathbb{Q}$.
    Segundo caso: $\ker f\ne\{0\}$. En este caso, $n\cdot 1_K=0$ para algún $n\ne 0$. Si $p$ es el menor entero positivo tal que $p\cdot 1_K=0$, entonces $p$ es primo pues $p$ es la característica de $K$. Por un conocido teorema de isomorfía, se verifica $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/\ker f\cong \operatorname{Imf}\subset K$ lo cual implica que $K$ contiene una copia de $\mathbb{Z}_p$.

Esta entrada fue publicada en Álgebra. Guarda el enlace permanente.