Álgebras uniformemente densas: teorema de Stone-Weierstrass

Aplicamos el teorema de Stone-Weierstrass para encontrar álgebras uniformemente densas.

Enunciado
Sea $X$ un espacio topológico compacto y $C(X)$ el espacio vectorial de las funciones reales continuas $f:X\to \mathbb{R}$ con la norma de la convergencia uniforme $$\left\|{f}\right\|_\infty=\max \left\{\left |f(x)\right|:x\in X\right\}.$$ Es claro que una sucesión $f_n$ de $C(X)$ converge uniformemente a $f\in C(X)$ si y sólo si $f_n$ converge a $f$ con la norma anterior. El teorema de Stone-Weierstrass asegura que si $\mathcal{F}$ es un álgebra de $C(X)$ que separa puntos y contiene a las funciones constantes, entonces es uniformemente densa en $C(X)$ (es decir, es densa con la norma de la convergencia uniforme).
Esto, naturalmente equivale a decir que para toda función $f\in C(X)$ existe una sucesión $f_n$ en $\mathcal{F}$ tal que $f_n\to f$ uniformemente. Se pide:
  1. Demostrar que el conjunto $\mathbb{R}[x]$ de las funciones polinómicas es familia uniformemente densa en $C([a,b])$. Concluir.
  2. Ídem para $K\subset \mathbb{R}^n$ compacto y la familia $\mathcal{F}=\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ de las funciones polinómicas.
  3. Demostrar que el subespacio vectorial de $C[0,1]$ generado por las funciones $\{e^{nx}:n\in\mathbb{Z}\}$ es uniformemente densa en $C[0,1]$.
  4. Demostrar que el teorema de Stone-Weirstrass es aplicable al intervalo $[a,b]$ con $$\mathcal{F}=\text{Lip }([a,b])=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}\text{ con }f\text{ lipschitziana}\}. $$
    Solución
  1. Recordamos que si $A$ y $B$ son conjuntos y $\mathcal{F}$ es una familia de funciones de $A$ en $B$, se dice que $\mathcal{F}$ separa puntos si para cada par de elementos $x,y\in A$ con $x\ne y$ existe $f\in \mathcal{F}$ tal que $f(x)\ne f(y)$.
    El intervalo $[a,b]$ es compacto, $\mathbb{R}[x]$ es un álgebra de $C([a,b])$ y contiene a las funciones constantes. Por otra parte si $\alpha,\beta \in [a,b]$ con $\alpha\ne \beta$ el polinomio $p(x)=x$ satisface $p(\alpha)\ne p(\beta)$. Por el teorema de Stone-Weierstrass $\mathbb{R}[x]$ es álgebra uniformemente densa en $C([a,b])$. Concluimos que para toda función continua $f$ en $[a,b]$ existe una sucesión de polinomios $p_n$ tales que $p_n\to f$ en $[a,b]$ uniformemente.
    Nota. Este caso particular del teorema de Stone-Weierstrass se conoce como Teorema de Weierstrass.
  2. De nuevo, $K$ es compacto por hipótesis, $\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ es un álgebra de $C(K)$ y contiene a las funciones constantes. Por otra parte si $\alpha,\beta \in K$ con $$\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\ne \beta=(\beta_1,\ldots,\beta_n),$$ existe $k$ tal que $\alpha_k\ne \beta_k$. Eligiendo $p(x_1,\ldots,x_n)=x_k$, obtenemos $p(\alpha)\ne p(\beta)$, i.e. $\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_n]$ es familia uniformemente densa en $C(K)$.
  3. El subespacio vectorial $\mathcal{F}$ generado por $\{e^{nx}:n\in\mathbb{Z}\}$ está formado por las funciones de la forma $$f:[0,1]\to \mathbb{R},\quad f(x)=\lambda_1e^{n_1x}+\lambda_2e^{n_2x}+\cdots+\lambda_me^{n_mx}\quad (\lambda_i\in\mathbb{R},n_i\in \mathbb{Z}).$$ $\mathcal{F}\subset C[0,1]$ pues las funciones de $\mathcal{F}$ son continuas. Es fácil demostrar que forman un álgebra. Contiene a las funciones constantes pues $f(x)=C=Ce^{0x}\in \mathcal{F}$. Por último, si $\alpha,\beta\in [0,1]$ con $\alpha\ne \beta$ entonces, $f(x)=e^x=1e^{1x}\in \mathcal{F}$ y $f(\alpha)=e^{\alpha}\ne e^{\beta}=f(\beta)$. Concluimos que $\mathcal{F}$ es uniformemente densa en $C([0,1])$.
  4. $(i)$ $\text{Lip }[a,b]$ es subespacio vectorial de $C[a,b]$. En efecto, sabemos que toda función lipschitziana es uniformemente continua y por tanto continua, luego $\text{Lip }[a,b]\subset C[a,b]$. La función nula es claramente lipschitziana. Además, para todo $x,y\in[a,b]$: $$f,g\in\text{Lip }[a,b]\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists k_1 > 0 : \left|f(x)-f(y)\right|\le k_1 \left|x-y\right|\\\exists k_2 > 0 : \left|g(x)-g(y)\right|\le k_2 \left|x-y\right|\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \left|(f+g)(x)-(f+g)(y)\right|=\left|f(x)+g(x)-f(y) -g(y)\right|$$ $$\le \left|f(x)-f(y)\right|+\left|g(x)-g(y)\right|=(k_1+k_2)\left|x-y\right|\Rightarrow f+g\in \text{Lip }[a,b].$$ $$\lambda\in\mathbb{R},\;f\in\text{Lip }[a,b]\Rightarrow \exists k > 0 : \left|f(x)-f(y)\right|\le k \left|x-y\right|$$ $$\Rightarrow \left|(\lambda f)(x)-(\lambda f)(y)\right|=\left|\lambda f(x)-\lambda f(y)\right|=\left|\lambda\right|\left|f(x)-f(y)\right|$$ $$\le k\left|\lambda\right|\left|x-y\right|\Rightarrow \lambda f\in\text{Lip }[a,b].$$ $(ii)$ $\text{Lip }[a,b]$ es subanillo de $C[a,b]$. En efecto, $\emptyset \ne \text{Lip }[a,b]\subset C[a,b]$. Además, para todo $x,y\in[a,b]$: $$f,g\in\text{Lip }[a,b]\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \exists k_1 > 0 : \left|f(x)-f(y)\right|\le k_1 \left|x-y\right|\\\exists k_2 > 0 : \left|g(x)-g(y)\right|\le k_2 \left|x-y\right|\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow \left|(f-g)(x)-(f-g)(y)\right|=\left|f(x)-g(x)-f(y) +g(y)\right|$$ $$\le \left|f(x)-f(y)\right|+\left|g(x)-g(y)\right|=(k_1+k_2)\left|x-y\right|\Rightarrow f-g\in \text{Lip }[a,b].$$ Si $f,g$ son lispschitzianas en $[a,b]$, son continuas en $[a,b]$ y por tanto están acotadas, es decir existe $M > 0$ tal que $|f|\le M$ y $|g|\le M$. Entonces, $$f,g\in\text{Lip }[a,b]\Rightarrow |(fg)(x) – (fg)(y)|=|f(x)g(x) – f(y)g(y)|$$ $$\leq |f(x)g(x) – f(x)g(y)| + |f(x)g(y) – f(y)g(y)|$$ $$\leq M\left(|g(x) – g(y)|+|f(x)-f(y)|\right)\le M(k_1+k_2)|x-y|\Rightarrow fg\in\text{Lip }[a,b].$$ $\text{Lip }[a,b]$ es por tanto subanillo de $C[a,b]$ (además, conmutativo y unitario).

    Ahora, para todo $\lambda\in \mathbb{R}$ y para todo par de funciones $f,g\in \text{Lip }[a,b]$ se verifica $\lambda (fg)=(\lambda f)g=f(\lambda g)$ con lo cual podemos concluir que $\text{Lip }[a,b]$ es un álgebra. Claramente contiene a las funciones constantes y separa puntos pues $id\in \text{Lip }[a,b]$ e $id(\alpha)\ne id(\beta)$ si $\alpha\ne \beta$. Esto completa la demostración de que se verifican las hipótesis del teorema de Stone-Weierstrass y en consecuencia $\text{Lip }[a,b]$ es álgebra uniformemente densa en $C[a,b]$.

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